应用时间序列分析模拟试题

《时间序列分析》模拟试题《时间序列分析》课程考试卷一、填空题（每小题2分，共计20分）1. ARMA(p,q)模型 q t q t p t p t t x x x -------++++=εθεθεφφφ 11110， 其中模型参数为p ，q 。

2. 设时间序列{}t X ，则其一阶差分为1--=∇t t t x x x 。

3. 设ARMA (2, 1)：1210.50.40.3t t t t t X X X εε---=++- 则所对应的特征方程为________04.05.02=--λλ。

4. 对于一阶自回归模型AR(1): 110t t t X X φε-=+＋，其特征根为___φ______，平稳域是_____{}1|<φφ_____。

注：平稳性判别：1）特征根判别法：特征根的绝对值小于1；该题中特征根等于φ，故平稳条件为{}1|<φφ。

（系数多项式的根在单位园外）2）平稳域判别法：AR （1）模型：{}1|<φφAR （2）模型：{}1,1|,12221<±<φφφφφ且 5. 设ARMA(2,1):1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-，当a满足__15.0,1<±<a a _______时，模型平稳。

6. 注：AR 模型平稳（系数多项式的根在单位园外）；MA 模型可逆（系数多项式的根在单位园外）：7. 对于一阶自回归模型MA(1): 10.3t t t X εε-=-，其自相关函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-==2,01,09.13.00,1k k k k ρ。

注：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤++-===∑∑=-=+q k q k k qi i k q i k i k k k ,01,10,112110θθθθγγρ8. 对于二阶自回归模型AR(2):120.50.2t t t t X X X ε--=++则模型所满足的Yule-Walker方程是_⎪⎩⎪⎨⎧=⎩⎨⎧+=+===21220211222121011101k k φρφρρφρφρρφρρ=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+===285804185851852221222111k k φφφφφ__。

注：1.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----kk k k k k k k k φφφρρρρρρρρρρρρ21021201110212. 由于AR 模型的∑=-=pi ik i k 1ρφρ故对于AR （2）有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=-===--2,1,10,12211210k k k k k k k ρφρφφφγγρ进而⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--2,2.05.01,850,121k k k k k k ρρρ 9. 设时间序列{}t X 为来自ARMA(p,q)模型：1111t t p t p t t q t q X X X φφεθεθε----=++++++则预测方差为___()∑==li i t G l e Var 022][εσ________________。

10. 对于时间序列{}t X ，如果_()()()ts Ex ts E Var E x t s s t t t tt d <∀=≠====∇,0,0,,02εεεσεεεε，则()~t X I d 。

注：ARIMA （p ，d ，q ）()()()()()ts Ex ts E Var E B x B t s s t t t tt d <∀=≠===Θ=∇Φ,0,0,,02εεεσεεεε11. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p ，q)模型，则其模型结构可写为_____________。

()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++==+=∑∑==---qj j j p i i t i t t t t tt t t h h e h x x t f x 12121,,,,εληωεε二、（10分）设时间序列{}t X 来自()2,1ARMA 过程，满足()()210.510.4ttB B X B ε-+=+,其中{}t ε是白噪声序列，并且()()2t t 0,E Var εεσ==。

（1） 判断()2,1ARMA 模型的平稳性。

（5分）特征函数为05.02=+-x x ，特征根为21211ix ±=-±=，在单位圆，平稳也可用平稳域法见一（4）（2） 利用递推法计算前三个格林函数012,,G G G 。

（5分）⎪⎩⎪⎨⎧'-'==∑=-k k j j k j k G G G θφ10110=G4.1)4.0(11011=--=-=θφG G9.005.04.1202112=--='-+=θφφG G G求格林函数也可以用算子()()()()()()+++=++++=+-+-++=+-+22221229.04.115.014.015.05.014.015.014.01B B B B B B B B B B BB B三、（20分）某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N ＝500），经过计算样本其样本自相关系数ˆ{}k ρ及样本偏相关系数ˆ{}kkφ的前10个数值如下表求（1） 利用所学知识，对}{t X 所属的模型进行初步的模型识别。

（10分） 样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA （0，1，1） （2） 对所识别的模型参数和白噪声方差2σ给出其矩估计。

（10分）由于ARIMA（，1，1）模型有21111θθρ+-=，7415.047.0247.0411ˆ2ˆ411ˆ111-=⨯-⨯++-=-+-=ρρθ645.0ˆ11ˆ212=+=θσε四、（20分）设}{t X 服从ARMA(1, 1)模型：110.80.6t t t t X X εε--=+-，0025.02=εσ其中1001000.3,0.01X ε==。

（1）给出未来3期的预测值；（10分）()234.06.08.01ˆ100100100=-=εX X()()1872.0234.08.01ˆ8.02ˆ100100=⨯==X X ()()14976.01872.08.02ˆ8.03ˆ100100=⨯==X X（2）给出未来3期的预测值的95%的预测区间（0.975 1.96u =）。

（10分）()tt t B B B BX εε +++=--=216.02.018.016.0110=G ；2.01=G ；16.02=G由于()∑==li i t G l e Var 022][εσ()0025.0]1[100=e Var ()0026.0]2[100=e Var ()002664.0]3[100=e Var95%的预测区间()()[]()l e Var u l x100975.0100ˆ101 （0.136,0.332）102 （0.087，0.287）103 （-0.049,0.251）。

五、（10分）设时间序列}{t X 服从AR(1)模型：1t t t X X φε-=+，其中{}t ε为白噪声序列，()()2t t 0,E Var εεσ==，1212,()x x x x ≠为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数2,φσ的极大似然估计。

()tt t B B B X εφφεφ +++=-=2211124202111φφφ-=+++=∑∞= i i G253011φφφφφ-=+++=∑∞=+ i i iGG⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=Ω111111111122222φφφφφφφφφ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=Ω-111φφ()21ln ln φ--=Ω,21222112x x x x x x φ-+=Ω'- 似然方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂Ω'∂+∂Ω∂=Ω'---021ln 2102212412φσφσσεεεx x x x n , ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+02122222122212221εεσφφσφx x x x x x 所以()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=22212222122221212ˆ2ˆx x x x x x x x εσφ六、（20分）证明下列两题：（1）设时间序列{}t x 来自()1,1ARMA 过程，满足 110.50.25t t t t x x εε---=-,其中()2t ~0,WN εσ, 证明其自相关系数为11,00.2710.52k k k k k ρρ-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩（10分） ()tt t t B B B B B B B x εεε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=--= 3222222122125.015.0125.0110=G ，1,211≥=+k G k k()1411224112210216725.01121212121212121+++∞=-++∞=+++∞=+=-+=+=+==∑∑∑k k k j j k k j k j k j k j j G G k γ()121325.011211212112110412241220=-+=+=+==∑∑∑∞=-∞=+∞=j j j j j j j G G γ()1,21137≥=k k kρ（2）若t X ~I(0)，t Y ~I(0)，且{}t X 和{}t Y 不相关，即(,)0,,r s cov X Y r s =∀。

试证明对于任意非零实数a 与b ，有~(0)t t t Z aX bY I =+。

（10分） 证明：因为t X ~I(0)，t Y ~I(0)，所以；()∞<2t X E ()∞<2t Y E ；()Xt X E μ=；()Yt Y E μ=()()T k s k t s t k s k t s t X X ∈++++=,,,,,,γγ；()()T k s k t s t k s k t s t Y Y ∈++++=,,,,,,γγtt t bX aX Z +=()()tt t t t b a bX aX E Z E μμ+=+=()()()()()()∞<++≤++=2222222222222tttttt t t t Y E X E ab Y E b X E a Y abX Y b X a E Z E()()()()()()()()()s t b s t a Y X abCov Y X abCov s t b s t a b a bY aX b a bY aX E s t t t t t tY X t s s t Y X s s s s t t t t Z ,,,,,,,2222γγγγμμμμγ+=+++=--+--+=所以()()T k s k t s t k s k t s t Z Z ∈++++=,,,,,,γγ七、填空题（每小题2分，共计20分）1. 设时间序列{}t X ，当__()()()()x F x F R x x x Z T t t t N m t t m m m m ττ+=∈=∀∈∀∈=∀∈∀,,,,,,,,11 ，序列{}t X 为严平稳。