矩阵位移法例题

第8章矩阵位移法
ki① i 0
k
① ji
0
1
0
ki② i
k
② ji
0
2
6 引入支座条件
ki① j
ki② j
k
① jj
k
② jj
ki③ i
k
③ ji
3
0 1
0
2
ki③ j
k
③ jj
3 4
4
取出自由结点所对应的子块，即第3子块行、第3子块列，构成考虑 约束条件后的总刚度矩阵。
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.1698
0
105
0.060
0.3396
cosa sin a 0
0.7071 0.7071 0 0
0 0
sin a cosa 0
0
0.7071 0.7071 0
0
0 0
T (2)
0
01
0
cosa
sin a
0
l
1 ql
1 ql
2
2
p
1 pl 8
1 pl 8
l
l
2
2
1p
1p
2
2
第8章矩阵位移法
例题 2 （1）求各单元在局部坐标系中固端力向量
例题 2
第8章矩阵位移法
(2)将
转换成
单元①
单元②
例题 2
第8章矩阵位移法
(3)利用单元定位向量，将
中元素反号后叠加集成
第8章矩阵位移法
例题 3
图示桁架，已知结点位移列阵
0
01 0
0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0 sin a cosa 0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0
0
1
0
00 0
0 1
以上代入公式： K (2) T K (2)T T (2) (2)
得单元（2）整体坐标表示的单元刚度矩阵：
1.4213
K (2)
对
1.4072 1.4213
试用矩阵位移法求单元①和单元③在局部坐标系下的杆端力列 阵。设
第8章矩阵位移法
例题 3
(1)提取整体坐标系下单元的杆端位移：
(2)单元坐标系下单元的杆端位移与上同 即
例题 3
(3) 求杆端力
第8章矩阵位移法
例题 4 平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1×107kN/m2, A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。
q = 20 KN/m
1
1
11
q=20KN/m =20KN/m
3
3
3
44
3
6m
6m 6m
2
2
6m
6m
2
2 6m
6m
[解] 1.对应结点及各单元编号如图所示;
2.列出单元参数表;
单元 单元坐标x 轴
① 1→3
② 2→3
α
Cx
Cy
B
EA l
0° 1
0
4×105
45° 0.7071 0.7071 2.8285×105
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
i EI l
第8章矩阵位移法
例题 1 （2）求总刚，对号、叠加
第8章矩阵位移法
例题 2
图a所示结构，不考虑轴向变形，整体坐标见图b，图中圆括号内数码 为结点定位向量(力和位移均按水平、竖直、转动方向顺序排列)。求 等效结点荷载列阵 。
例题 2
第8章矩阵位移法
1 ql 2
q
1 ql 2
12
12
称
0.04243 0.04243
0.3394
1.4213 1.4072 0.04243 1.4213
1.4072 1.4213 0.04243 1.4072 1.4213
0.04243
0.04243
0.1697 0.04243
105
0.04243
0.3394
返回目录
5 集成总刚度矩阵
2 1 2i 2
BC Y
2 l
Cx
对称
6i l Cy 6i l Cx
4i
2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l 6i l Cy 2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l
2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l 6i l Cx 1 2i (B 2 )CxC y
第8章矩阵位移法
例题 1
图a所示结构(整体坐标见图b，图中圆括号内数码为结点定位向量 (力和位移均按竖直，转动方向顺序排列)。 求结构刚度矩阵[K]。
第8章矩阵位移法
例题 1
EA
Ni
l
0
Qi
M i
N
j
0 EA
Q
j
M j
l
0
0
0
12EI l3 6EI
l2
0
12EI
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
4.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
l3 6EI
l2
0
6EI l2
4EI l
0
6EI l2 2EI l
EA l
0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3 6EI l2
0
6EI
u
i
l2 2EI
vi
l 0
i
u
j
6EI l2
v
j j
4EI
l
例题 1 (1) 求各单元单刚
第8章矩阵位移法
6m
6m
i
EI l
0.12×105
0.0849×105
③ 3→4
0° 1
0
4×105
0.12×105
3.列出单元坐标表示的单元刚度矩阵
将以上参数代入公式：
4 0 0 4 0
0
0.04 0.12
0
0.04
K
(1)
0
0.48 0 0.12 40
对 称
0.04
Hale Waihona Puke Baidu
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0 0.12
l 2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l
6i l Cy
6i l Cx
2i
6i
l Cy 6i l Cx 4i
第二种方法： 利用坐标变换公式： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.8285
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
0
0
0.24 0
105
0.12
0.48
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
6EI
2
l
4EI
l
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
K (3) K (1)
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
2
l
0
6EI
2
l
2EI
2
l
0
6EI
2
l 4EI
l
2.8285