《高等数学》有理函数积分

4 1 2x
2x 1
1 x2
B 2 5
C1 5
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四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
Mx x2 px
N
q
dx
4.
(
x
M 2
x px
N q)
n
dx
变分子为
M 2
(2x
p)
N
2 2
x 2
x 2
1 1
tan 2 tan 2
x 2
x 2
1 1
t t
2 2
dx
1
2 t
2
dt
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1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
1
2t 1t
2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
5
5
5
例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求
解: 原式
1 2
(2x
2)
3
x2 2x 3
dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 .
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
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例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
cos
x
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例10. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
.
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x,
原式
(cos2 x 2) cos x dx 1 sin2x sin4 x
(sin2 x 1 sin2
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
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例5. 求
解: 原式
(x2 2x 2) (2x 2) (x2 2x 2)2
dx
dx (x 1)2 1
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2
arctan(x
内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
万能代换
分解
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解: 1. 原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnnxxxx3333aaaa3333 CC
2. 原式
sin2 x sin3
cos2 x cos x
x
dx
dx
sin x cos x
cos sin 3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin 3
x x
ln tan x
1 2
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例4. 求
解:
I
x
2x3 5x 4 5x2
4
dx
x
4
2x2 5
x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
原式
6t
t3
5
dt
t2
6
(
t
2
t
1
1 1
t
)
dt
6
1 3
t
3
1 2
t
2
t
ln 1 t
C
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例13.
求
1 x
1 x dx . x
解: 令 t 1 x ,则 x
原式
(t 2 1)t
(t
2
2t 1) 2
dt
2
t
t
2
2
1
dt
2t ln
t 1 t 1
C
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R(x , n ax b ) dx , 令 t n ax b
R(x
,n
a xb c xd
) dx
,
令
t
n
a xb c xd
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m, n的最小公倍数 .
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例11. 求
x 2
x3 x3
x2
5
B (x 3) 原式
x
3
x3 x2
x
3
6
故
原式 5 6
x2 x3
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(3) 混合法
(1
1 2 x)(1
x2)
A 1 2x
Bx C 1 x2
A (1 2x) 原式
x
1 2
4 5
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
原式
=
1 5
1) d sin x x sin4 x
(t 2 1) dt 1t2 t4
1 arctan t 1t C
3
3
1 arctan cos2 x C
3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
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2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
1 (x 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
)
x 1x)2
2
(见P348公式21)
1
arctan
x
1 x
22
2
1 1 22 2
ln
x
1 x
x
1 x
2 C
2
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二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
令
t
tan
x 2
万能代换
t 的有理函数的积分
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0) .
解法 1
原式
dx (a tan x b)2 cos2 x
令 t tan x
dt (a t b)2
1 C a(a t b)
cos x
C
a(a sin x b cos x)
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0)
解法 2 令
a sin ,
a2 b2
b cos
a2 b2
原式
a2
1
b2
dx
cos2 (x )
a
2
1
b2
tan(x
)
C
asin x bcos x sin
cos
a
2
b2 a
2
1ab22atabn2(
xsinaxrctanaba2b)bC2
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;
分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容:
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
4 2 22
2
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例8. 求
解:
原式
a2
1 cos 2
x
dx
tan2 x
b2
1 a2
d tan x
tan 2
x
(
b a
)
2
1 arctan( a tan x ) C
ab
b
说明: 通常求含 sin2 x, cos2 x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
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例7.
求
sin
1 sin x x(1 cos
dx x)
.
解: 令 t tan x , 则 2
sin
x
2 sin
sin
2
x 2
x 2
cos
x 2
cos2
x 2
2 1
tan
x 2
tan 2
x 2
2t 1 t
2
cos
x
cos2 sin 2
x 2
x 2
sin cos
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式
3u 1
2
u
du
wk.baidu.com
3
(u2 1) 1 u
1 du
3
(
u
1
1
1
u
)
du
3
1 2
u
2
u
ln
1 u
C
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例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 , 令 x t 6 , 则有
2.求不定积分
解：原式 =
前式令 u
tan
x 2
;
后式配元
3
1
1u 1u
2 2
1
2 u2
d
u
1 arctan u
2
2
1 arctan( 1 tan x)
2
22
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1)
x2
1 2
x
2
C
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dx
例6. 求 x4 1
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
注意本题技巧 按常规方法较繁
1 2
(
d(x
x
1 x
)2
1 x
)
2
1 2
(
d(x
1 x
Mp 2
再分项积分
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例2. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
1 5
1
4 2x
1
2
x x2
1
1 x
2
原式
2 5
d(1 2x) 1 2x
1
5
d(1 x2 1 x2
)
1 5
1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
1 sin 2
x
C
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作业
P218 6 , 8 , 9 , 11； 15 ,17 , 18 , 20 , 21
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备用题 1. 求不定积分
解：令 t 1 , 则 x
1 1
t6
分母次数较高, 宜使用倒代换.
,故
1t5 5
t
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