两自由度系统的振动

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设某一瞬时: m1、m2上分别有位移 x1、x2 加速度 x1、x2
受力分析:
F1(t)
x1
F2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
F1(t)
F2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
m1x1
m2 x2
8
m1与m2的任一瞬时位置只要用和两个独立座标就 可以确定,系统具有两个自由度
x1


x2


P1(t)

P2
来自百度文库
(t
)
k 1
M 1 (t )
k 2
M 2 (t)
I1
k 3 I2
J1

0
0 J2

12

k1


k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1


2

b k2 m1
c k2 m2
d k1 k3 m2
(1)式可表示为:
x1 ax1 x2 cx1

bx2 dx2

0 0
(2)
x1 ax1 x2 cx1

bx2 dx2

0 0
(2)
假设该系统做同步简谐运动,其解可表示为:
x1 A1 sin0t x2 A2 sin0t
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致,
根据牛顿运动定律有
m1x1 k1x1 k2 (x2 x1)
m2x2 k2 (x2 x1) k3x2
5
移项得
m1x1 (k1 k2 )x1 k2x2 0 m2x2 k2x1 (k2 k3)x2 0
(3)
● 因 为 方 程 ( 2 ) 是 齐 次 的 , 如 果 x1 和 x2 为 方 程
(4.1-4)的一个解,那么与其相差一个常数因子 的x1和x2也将是一个解。
●通常感兴趣的是一种特殊形式的解,也就是 x1和x2同步运动的解。
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学 家是荷兰的物理学家克里斯蒂 安·惠更斯(Christian Huygens 16291695)。根据伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现的钟摆的等时性原 理,他于1656年把单摆引入了机 械钟,研制成第一个摆钟。
(4.1-1)
方程(4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由 振动的微分方程,为二阶常系数线性齐次常微分 方程组。
方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示,写成
m1

0
0 m2


&x&1 &x&2

k1 k2

k2
k2 k2 k3

除了萤火虫的发光之外,自然界里 到处都可以发现同步化现象。由一万 多个细胞组成的心脏搏动器总是按照 同一个的节奏产生着脉冲信号;知了 每17年都会一起爬到地面上来进行繁 殖;秋天晚上的蟋蟀们,也好像有谁 指挥一样,齐刷刷地奏出优美动听的 大合唱。
以上现象存在着三个共同点:(1)每个个体都在进行 各自不同的周期性运动;(2)它们的运动节奏在某一瞬间 变得一致;(3)它们身上都应该存在某种导致这种现象的 媒介物质。物理学家们把这种做周期性运动的个体称为 “振动体”,把通过媒介物质连接在一起的振动体称为 “耦合振动体”,又把他们同时改成同一节奏运动的现 象叫做“同步化”现象。
沿着弯弯曲曲的河道走 进茂密的森林,黄昏洒下温 柔的光辉,落在森林的枝杈 上,一闪一闪,好像一两星 萤火虫的光芒。夜渐渐深了, 不知不觉,岸边的树林被成 群的萤火虫,点成了一座星 星的城堡。不过最壮观的却 是深夜的某一时刻,好像在 谁一声令下似的,所有原来 此起彼伏,各自发光的萤火 虫们,全都开始同时明暗, 变得整齐一致了!
4.1 两自由度系统振动微分方程
例1 如图4.1-1(a)所示的无阻尼两质量-弹簧系统,
可沿光滑水平面滑动的两个质量m1与m2分别用弹 簧k1与k3连至定点,并用弹簧k2相互联结。
取m1与m2的静平衡 位置为坐标原点,描
述 m1 与 m2 位 置 的 坐 标 为x1和x2。
系统的受力如图4.1-1(b)所示。 图 4.1-1


3、写成矩矩阵形式
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2

k2x2 F1t k3)x2 F2 t


MXt KX t Ft
矩阵形式
m1

0
0 m2


xx12

k1 k2

k2
k2 k2 k3



x1 x2


FF12
t t
M

m1

0
0
m2

质量矩阵
K

k1 k2

k2
k2
k2

k3

刚度矩阵
X
t



x1 x2

位移矢量
F
t



F1 F2
e
a1
a2
l
l1
l2
简化形式 A
DC
B
e
k1
a1
a2
k2
17
解:1、建立广义坐标,并 受力分析。车体所受外力向
l
l1
l2
D点简化为合力 PD 和合力
A
DC
B
矩 MD 。
e
k1
a1
a2
k2
2、写出车体运动的两个运 动微分方程
FKA k1xD a1D FKB k2 xD a2D
主要内容
4.1 两自由度系统振动微分方程 4.2 两自由度系统的自由振动
简谐振动
最简单的单自由度 振动系统就是一个弹簧 连接一个质量的系统, 如图所示的弹簧-质量 系统。
弹簧-质量系统有一个共同的特点:当受扰动 离开平衡位置后,在恢复力作用下系统趋于回到 平衡位置,但是由惯性它们会超越平衡点。超越 后,恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果 系统就来回振动起来。
12

k1


k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1


2


M1 M 2
(t ) (t)
可统一表示为: M X K X P(t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向

x1 x2


0 0
(4.1-2)
由系数矩阵组成的常数矩阵M和K分别称为质量 矩阵和刚度矩阵,向量x称为位移向量。
例2:双质量弹簧系统,两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
F1(t)
x1
F2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
解:1、建立坐标:x1, x2 的原点分别取在 m1, m2 的静平衡位置
l
l1
A
DC
l2 B
k1
k2
e
a1
a2
悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示。 选取D点的垂直位移 xD和绕D点的角位移 D为坐标。
写出车体微振动的微分方程。
15
仰俯

摇摆

FD MD
xC θC
xD-a1θ D xD θ D
xD+a2θ D
l
l1
A
DC
l2 B
k1
k2
M D FD
DC
A
D
FKA
xD
B
FKB
xC
o
mxC FD k1xD a1D k2 xD a2D
(a)
J DD M D k1 xDa1 a12D k2 xDa2 a22D mexD (b) 18
由 xC xD eD
D

M
D
3、写成矩矩阵形式
m me
me
JC

me2


M
质量矩阵
k1 k2 k2a2 k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22


K
刚度矩阵
xD
D


X
t
FD M D


F
t

车体的运动微分方程可表示为:

k1


k k 2
2
k 2
k 2 k
3

1 2


M1 M 2
(t ) (t)
13
P1(t)
k1 m1
P2(t)
k2
k3
m2
m1 m2
0 0

x1 x2

k1 k2

k2
k2 k2 k3


若系统有 n 个自由度,则各项皆为 n 维
21
4.2 两自由度系统的自由振动
1、固有频率求解
有上一讲可知系统的
x1
k1
k2
m1
运动微分方程为::
x2
k3
m2
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2

kk32)xx2200
(1)
令: a k1 k2 m1
1665年2月的一天,因为身体不适,他躺在家 里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意 外地在他自己发明的摆钟上,发现了一个有趣的 现象。
有趣的现象:
墙壁上并排悬挂着的两只钟,这两只钟的钟摆 竟然在按照相同的位移(拍子)摆动!经过连续 几个小时的观察之后,结果还是一样。而且就算 强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动, 不到30分钟,也还是恢复成相同的位移。只有将 一只钟挂到另一面墙上后,两只钟的位移才开始 渐渐分出不同,到最后甚至连一天的周期也产生 了5秒左右的差别。后来,他又通过实验推断, 这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气 振动或者是墙壁的轻微振动导致的。
MXt KX t Ft
20
小结:
例1:
m1 m2
0 0

x1 x2

k1 k2

k2
k2 k2 k3
x1


x2


F1(t)

F2
(t
)
例2: I1

0
0 I2

xC xD eD
由动量矩定理得: J D JC me 2
代入(a)、(b)得:
mmxexDDmeJCDmek21
k2 xD k2a2 k1a1 D FD D k2a2 k1a1 xD k1a12 k2a22

激振力矢量
例3:转动运动 两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 J1, J2 轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
试建立系统的运动微分方程
11
解:
1、建立坐标:设某一瞬时: 角位移 1, 2
第四章 两自由度系统振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时, 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。
◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。
◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加。
◆强迫简谐振动发生在激励频率,而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
2、分别列出m1与m2的自由振动微分方程
F1t k1x1 k2 (x2 x1) m1x1 0
F2 t k2 (x2 x1) k3x2 m2x2 0
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2

k2x2 F1t k3)x2 F2 t
k 33
M 1 (t )
J11
M 2 (t)
J 22
2、建立方程:

J11 J22
k11 k 2 (2
k 2

(1 2 ) 1 ) k33

M 1 (t ) M 2 (t)
3、矩阵形式:
J1

0
0 J2

12

M1 (t ) M 2 (t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样,在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
14
例4:研究汽车上
下振动和俯仰振动 的力学模型。
表示车体的刚性杆 AB的质量为m, 杆绕质心C的转动 惯量为Jc。
受力分析:
k 11
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
角加速度 1 ,2
k 2 (1 2 ) J11
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
k 2 (2 1)
k 33
M 2 (t)
J 22
12
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
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