两自由度系统的振动
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设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 x1、x2 加速度 x1、x2
受力分析：
F1(t)
x1
F2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
F1(t)
F2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
m1x1
m2 x2
8
m1与m2的任一瞬时位置只要用和两个独立座标就 可以确定，系统具有两个自由度
x1
x2
P1(t)
P2
来自百度文库
(t
)
k 1
M 1 (t )
k 2
M 2 (t)
I1
k 3 I2
J1
0
0 J2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
b k2 m1
c k2 m2
d k1 k3 m2
（1）式可表示为：
x1 ax1 x2 cx1
bx2 dx2
0 0
（2）
x1 ax1 x2 cx1
bx2 dx2
0 0
（2）
假设该系统做同步简谐运动，其解可表示为：
x1 A1 sin0t x2 A2 sin0t
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，
根据牛顿运动定律有
m1x1 k1x1 k2 (x2 x1)
m2x2 k2 (x2 x1) k3x2
5
移项得
m1x1 (k1 k2 )x1 k2x2 0 m2x2 k2x1 （k2 k3)x2 0
（3）
● 因 为 方 程 ( 2 ) 是 齐 次 的 ， 如 果 x1 和 x2 为 方 程
(4.1-4)的一个解，那么与其相差一个常数因子 的x1和x2也将是一个解。
●通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是 x1和x2同步运动的解。
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学 家是荷兰的物理学家克里斯蒂 安·惠更斯(Christian Huygens 16291695)。根据伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现的钟摆的等时性原 理，他于1656年把单摆引入了机 械钟，研制成第一个摆钟。
(4.1-1)
方程(4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由 振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分 方程组。
方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成
m1
0
0 m2
&x&1 &x&2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
除了萤火虫的发光之外，自然界里 到处都可以发现同步化现象。由一万 多个细胞组成的心脏搏动器总是按照 同一个的节奏产生着脉冲信号；知了 每17年都会一起爬到地面上来进行繁 殖；秋天晚上的蟋蟀们，也好像有谁 指挥一样，齐刷刷地奏出优美动听的 大合唱。
以上现象存在着三个共同点：(1)每个个体都在进行 各自不同的周期性运动；(2)它们的运动节奏在某一瞬间 变得一致；(3)它们身上都应该存在某种导致这种现象的 媒介物质。物理学家们把这种做周期性运动的个体称为 “振动体”，把通过媒介物质连接在一起的振动体称为 “耦合振动体”，又把他们同时改成同一节奏运动的现 象叫做“同步化”现象。
沿着弯弯曲曲的河道走 进茂密的森林，黄昏洒下温 柔的光辉，落在森林的枝杈 上，一闪一闪，好像一两星 萤火虫的光芒。夜渐渐深了， 不知不觉，岸边的树林被成 群的萤火虫，点成了一座星 星的城堡。不过最壮观的却 是深夜的某一时刻，好像在 谁一声令下似的，所有原来 此起彼伏，各自发光的萤火 虫们，全都开始同时明暗， 变得整齐一致了！
4.1 两自由度系统振动微分方程
例1 如图4.1-1(a)所示的无阻尼两质量-弹簧系统，
可沿光滑水平面滑动的两个质量m1与m2分别用弹 簧k1与k3连至定点，并用弹簧k2相互联结。
取m1与m2的静平衡 位置为坐标原点，描
述 m1 与 m2 位 置 的 坐 标 为x1和x2。
系统的受力如图4.1-1(b)所示。 图 4.1-1
3、写成矩矩阵形式
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2
k2x2 F1t k3)x2 F2 t
MXt KX t Ft
矩阵形式
m1
0
0 m2
xx12
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
FF12
t t
M
m1
0
0
m2
质量矩阵
K
k1 k2
k2
k2
k2
k3
刚度矩阵
X
t
x1 x2
位移矢量
F
t
F1 F2
e
a1
a2
l
l1
l2
简化形式 A
DC
B
e
k1
a1
a2
k2
17
解：1、建立广义坐标，并 受力分析。车体所受外力向
l
l1
l2
D点简化为合力 PD 和合力
A
DC
B
矩 MD 。
e
k1
a1
a2
k2
2、写出车体运动的两个运 动微分方程
FKA k1xD a1D FKB k2 xD a2D
主要内容
4.1 两自由度系统振动微分方程 4.2 两自由度系统的自由振动
简谐振动
最简单的单自由度 振动系统就是一个弹簧 连接一个质量的系统， 如图所示的弹簧-质量 系统。
弹簧-质量系统有一个共同的特点：当受扰动 离开平衡位置后，在恢复力作用下系统趋于回到 平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越 后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果 系统就来回振动起来。
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
可统一表示为： M X K X P(t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向
x1 x2
0 0
(4.1-2)
由系数矩阵组成的常数矩阵M和K分别称为质量 矩阵和刚度矩阵，向量x称为位移向量。
例2：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
F1(t)
x1
F2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
解：1、建立坐标：x1, x2 的原点分别取在 m1, m2 的静平衡位置
l
l1
A
DC
l2 B
k1
k2
e
a1
a2
悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示。 选取D点的垂直位移 xD和绕D点的角位移 D为坐标。
写出车体微振动的微分方程。
15
仰俯
上
摇摆
下
FD MD
xC θC
xD-a1θ D xD θ D
xD+a2θ D
l
l1
A
DC
l2 B
k1
k2
M D FD
DC
A
D
FKA
xD
B
FKB
xC
o
mxC FD k1xD a1D k2 xD a2D
（a）
J DD M D k1 xDa1 a12D k2 xDa2 a22D mexD （b） 18
由 xC xD eD
D
M
D
3、写成矩矩阵形式
m me
me
JC
me2
M
质量矩阵
k1 k2 k2a2 k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
K
刚度矩阵
xD
D
X
t
FD M D
F
t
车体的运动微分方程可表示为:
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1 2
M1 M 2
(t ) (t)
13
P1(t)
k1 m1
P2(t)
k2
k3
m2
m1 m2
0 0
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
量
量
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
21
4.2 两自由度系统的自由振动
1、固有频率求解
有上一讲可知系统的
x1
k1
k2
m1
运动微分方程为：：
x2
k3
m2
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2
kk32)xx2200
（1）
令： a k1 k2 m1
1665年2月的一天，因为身体不适，他躺在家 里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意 外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的 现象。
有趣的现象：
墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆 竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续 几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算 强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动， 不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将 一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始 渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生 了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断， 这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气 振动或者是墙壁的轻微振动导致的。
MXt KX t Ft
20
小结：
例1：
m1 m2
0 0
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1
x2
F1(t)
F2
(t
)
例2： I1
0
0 I2
xC xD eD
由动量矩定理得： J D JC me 2
代入（a)、（b)得：
mmxexDDmeJCDmek21
k2 xD k2a2 k1a1 D FD D k2a2 k1a1 xD k1a12 k2a22
激振力矢量
例3：转动运动 两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 J1, J2 轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
试建立系统的运动微分方程
11
解：
1、建立坐标：设某一瞬时： 角位移 1, 2
第四章 两自由度系统振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。
◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。
◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
2、分别列出m1与m2的自由振动微分方程
F1t k1x1 k2 (x2 x1) m1x1 0
F2 t k2 (x2 x1) k3x2 m2x2 0
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2
k2x2 F1t k3)x2 F2 t
k 33
M 1 (t )
J11
M 2 (t)
J 22
2、建立方程：
J11 J22
k11 k 2 (2
k 2
(1 2 ) 1 ) k33
M 1 (t ) M 2 (t)
3、矩阵形式：
J1
0
0 J2
12
M1 (t ) M 2 (t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
14
例4：研究汽车上
下振动和俯仰振动 的力学模型。
表示车体的刚性杆 AB的质量为m， 杆绕质心C的转动 惯量为Jc。
受力分析：
k 11
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
角加速度 1 ,2
k 2 (1 2 ) J11
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
k 2 (2 1)
k 33
M 2 (t)
J 22
12
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
受力分析：
F1(t)
x1
F2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
F1(t)
F2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
m1x1
m2 x2
8
m1与m2的任一瞬时位置只要用和两个独立座标就 可以确定，系统具有两个自由度
x1
x2
P1(t)
P2
来自百度文库
(t
)
k 1
M 1 (t )
k 2
M 2 (t)
I1
k 3 I2
J1
0
0 J2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
b k2 m1
c k2 m2
d k1 k3 m2
（1）式可表示为：
x1 ax1 x2 cx1
bx2 dx2
0 0
（2）
x1 ax1 x2 cx1
bx2 dx2
0 0
（2）
假设该系统做同步简谐运动，其解可表示为：
x1 A1 sin0t x2 A2 sin0t
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，
根据牛顿运动定律有
m1x1 k1x1 k2 (x2 x1)
m2x2 k2 (x2 x1) k3x2
5
移项得
m1x1 (k1 k2 )x1 k2x2 0 m2x2 k2x1 （k2 k3)x2 0
（3）
● 因 为 方 程 ( 2 ) 是 齐 次 的 ， 如 果 x1 和 x2 为 方 程
(4.1-4)的一个解，那么与其相差一个常数因子 的x1和x2也将是一个解。
●通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是 x1和x2同步运动的解。
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学 家是荷兰的物理学家克里斯蒂 安·惠更斯(Christian Huygens 16291695)。根据伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现的钟摆的等时性原 理，他于1656年把单摆引入了机 械钟，研制成第一个摆钟。
(4.1-1)
方程(4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由 振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分 方程组。
方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成
m1
0
0 m2
&x&1 &x&2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
除了萤火虫的发光之外，自然界里 到处都可以发现同步化现象。由一万 多个细胞组成的心脏搏动器总是按照 同一个的节奏产生着脉冲信号；知了 每17年都会一起爬到地面上来进行繁 殖；秋天晚上的蟋蟀们，也好像有谁 指挥一样，齐刷刷地奏出优美动听的 大合唱。
以上现象存在着三个共同点：(1)每个个体都在进行 各自不同的周期性运动；(2)它们的运动节奏在某一瞬间 变得一致；(3)它们身上都应该存在某种导致这种现象的 媒介物质。物理学家们把这种做周期性运动的个体称为 “振动体”，把通过媒介物质连接在一起的振动体称为 “耦合振动体”，又把他们同时改成同一节奏运动的现 象叫做“同步化”现象。
沿着弯弯曲曲的河道走 进茂密的森林，黄昏洒下温 柔的光辉，落在森林的枝杈 上，一闪一闪，好像一两星 萤火虫的光芒。夜渐渐深了， 不知不觉，岸边的树林被成 群的萤火虫，点成了一座星 星的城堡。不过最壮观的却 是深夜的某一时刻，好像在 谁一声令下似的，所有原来 此起彼伏，各自发光的萤火 虫们，全都开始同时明暗， 变得整齐一致了！
4.1 两自由度系统振动微分方程
例1 如图4.1-1(a)所示的无阻尼两质量-弹簧系统，
可沿光滑水平面滑动的两个质量m1与m2分别用弹 簧k1与k3连至定点，并用弹簧k2相互联结。
取m1与m2的静平衡 位置为坐标原点，描
述 m1 与 m2 位 置 的 坐 标 为x1和x2。
系统的受力如图4.1-1(b)所示。 图 4.1-1
3、写成矩矩阵形式
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2
k2x2 F1t k3)x2 F2 t
MXt KX t Ft
矩阵形式
m1
0
0 m2
xx12
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
FF12
t t
M
m1
0
0
m2
质量矩阵
K
k1 k2
k2
k2
k2
k3
刚度矩阵
X
t
x1 x2
位移矢量
F
t
F1 F2
e
a1
a2
l
l1
l2
简化形式 A
DC
B
e
k1
a1
a2
k2
17
解：1、建立广义坐标，并 受力分析。车体所受外力向
l
l1
l2
D点简化为合力 PD 和合力
A
DC
B
矩 MD 。
e
k1
a1
a2
k2
2、写出车体运动的两个运 动微分方程
FKA k1xD a1D FKB k2 xD a2D
主要内容
4.1 两自由度系统振动微分方程 4.2 两自由度系统的自由振动
简谐振动
最简单的单自由度 振动系统就是一个弹簧 连接一个质量的系统， 如图所示的弹簧-质量 系统。
弹簧-质量系统有一个共同的特点：当受扰动 离开平衡位置后，在恢复力作用下系统趋于回到 平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越 后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果 系统就来回振动起来。
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
可统一表示为： M X K X P(t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向
x1 x2
0 0
(4.1-2)
由系数矩阵组成的常数矩阵M和K分别称为质量 矩阵和刚度矩阵，向量x称为位移向量。
例2：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
F1(t)
x1
F2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
解：1、建立坐标：x1, x2 的原点分别取在 m1, m2 的静平衡位置
l
l1
A
DC
l2 B
k1
k2
e
a1
a2
悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示。 选取D点的垂直位移 xD和绕D点的角位移 D为坐标。
写出车体微振动的微分方程。
15
仰俯
上
摇摆
下
FD MD
xC θC
xD-a1θ D xD θ D
xD+a2θ D
l
l1
A
DC
l2 B
k1
k2
M D FD
DC
A
D
FKA
xD
B
FKB
xC
o
mxC FD k1xD a1D k2 xD a2D
（a）
J DD M D k1 xDa1 a12D k2 xDa2 a22D mexD （b） 18
由 xC xD eD
D
M
D
3、写成矩矩阵形式
m me
me
JC
me2
M
质量矩阵
k1 k2 k2a2 k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
K
刚度矩阵
xD
D
X
t
FD M D
F
t
车体的运动微分方程可表示为:
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1 2
M1 M 2
(t ) (t)
13
P1(t)
k1 m1
P2(t)
k2
k3
m2
m1 m2
0 0
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
量
量
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
21
4.2 两自由度系统的自由振动
1、固有频率求解
有上一讲可知系统的
x1
k1
k2
m1
运动微分方程为：：
x2
k3
m2
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2
kk32)xx2200
（1）
令： a k1 k2 m1
1665年2月的一天，因为身体不适，他躺在家 里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意 外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的 现象。
有趣的现象：
墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆 竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续 几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算 强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动， 不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将 一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始 渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生 了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断， 这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气 振动或者是墙壁的轻微振动导致的。
MXt KX t Ft
20
小结：
例1：
m1 m2
0 0
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1
x2
F1(t)
F2
(t
)
例2： I1
0
0 I2
xC xD eD
由动量矩定理得： J D JC me 2
代入（a)、（b)得：
mmxexDDmeJCDmek21
k2 xD k2a2 k1a1 D FD D k2a2 k1a1 xD k1a12 k2a22
激振力矢量
例3：转动运动 两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 J1, J2 轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
试建立系统的运动微分方程
11
解：
1、建立坐标：设某一瞬时： 角位移 1, 2
第四章 两自由度系统振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。
◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。
◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
2、分别列出m1与m2的自由振动微分方程
F1t k1x1 k2 (x2 x1) m1x1 0
F2 t k2 (x2 x1) k3x2 m2x2 0
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
k2 )x1 (k2
k2x2 F1t k3)x2 F2 t
k 33
M 1 (t )
J11
M 2 (t)
J 22
2、建立方程：
J11 J22
k11 k 2 (2
k 2
(1 2 ) 1 ) k33
M 1 (t ) M 2 (t)
3、矩阵形式：
J1
0
0 J2
12
M1 (t ) M 2 (t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
14
例4：研究汽车上
下振动和俯仰振动 的力学模型。
表示车体的刚性杆 AB的质量为m， 杆绕质心C的转动 惯量为Jc。
受力分析：
k 11
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
角加速度 1 ,2
k 2 (1 2 ) J11
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
k 2 (2 1)
k 33
M 2 (t)
J 22
12
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)