热传导+对流微分方程推导

热传导微分方程

导热又称热传导，是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说，单纯的导热只发生在密实的固体物质中。

1 傅立叶定律

傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为:

q gradT λ=-⋅ (2-1)

式中:q ——热流密度，是一个向量，2/()Kcal m h

gradT ——温度梯度，也是一个向量，℃/m 。

λ——导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C ；

式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。

2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素

导热系数λ（/()Kcal mh C ）是热传导过程中一个重要的比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。

导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。

导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是：W/(m·K)。

在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程。 3．热传导微分方程推导 在t 时刻w 界面的温度梯度为

x

T

∂∂ 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x

T x T dx x x T x T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂

+∂∂

单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x

T

∂∂-λ

； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡∂∂+∂∂-22λ； 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T

22∂∂λ

图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图

同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz y

T

22∂∂λ

单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T

22∂∂λ

单位时间内流入六面体的总热量为：

dxdydz z T y T x

T ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1)

六面体内介质的质量为:

dxdydz ρ

单位时间六面体内热量的变化量（增加）为:

Cdxdydz t

T

ρ∂∂ 根据热量守恒定律:

Cdxdydz t T dxdydz z T y T x

T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

C t T

z T y T x

T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

t

T

z T y T x T C ∂∂=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222ρλ

t T

z T y T x

T a ∂∂=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

C

a ρλ

=

α称为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity ），单位m^2/s.

λ:导热系数，单位W/(m·K)； ρ：密度，单位kg/m^3

c ：热容，单位J/(kg·K).

思考：如果单元体内有热源：单位体积单位时间的散热量是q 方程怎么变？

4．岩石的热扩散率（导温系数) thermal diffusion coefficient ;thermal

diffusivity; thermal degradation

岩石的热扩散率也叫或热扩散系数，表示岩石在加热或冷却时各部分温度趋于一致的能

力。它反映岩石的热惯性特征，是一个综合性参数。热扩散率越大的岩石，热能传播温度趋于一致的速度越大，透入的深度也越大。

热扩散系数一般是根据岩石的导热系数(ramuda)、和密度(rou)的测量数据计算得到的。

图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图

在t 时刻

w 界面流体速度为U ，流体温度为T

单位时间流入微元体的流体质量为：udydz dm ρ=1

带入微元体的热量为：uTCdydz ρ

e 界面流体速度为dx x u u ∂∂+

,流体温度为dx x

T T ∂∂+ 单位时间流出微元体的流体质量为：dydz dx x u u dm ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

∂∂+

=ρ2 带出微元体的热量为: Cdydz dx x T T dx x u u ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡

∂∂+

ρ dxdydz x

T

dx x u C Cdxdydz x T u TCdxdydz x u uTCdydz ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+ρρρ

ρ 如果不考虑x 方向速度变化，略去高阶微量，则e 界面带出微元体的热量为：Cdxdydz x

T

u

uTCdydz ∂∂+ρρ 单位时间内在x 方向流入六面体的净热流量为：dxdydz x

T

uC

∂∂-ρ； 同理， y 方向：dxdydz y T vC

∂∂-ρ z 方向：dxdydz z

T wC ∂∂-ρ