材料力学教案

轴向拉伸与压缩

一、基本内容

1．重要概念

1）杆件变形的基本形式：轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲

2）变形固体的概念：变形固体的性质比较复杂，在对构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了简化起见，常略去材料的次要性质，并根据其主要性质作出假设，将它们抽象为一种理想的力学模型，作为材料力学理论分析的基础。在材料力学中对变形固体所作的基本假设有：

连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、小变形假设

3）轴向拉伸与压缩的概念：

对构件产生作用的外界因素除载荷以及载荷引起的约束反力之外，还有温度改变、支座移动、制造误差等。杆件在外力的作用下的变形可分为四种基本变形及其组合变形。

作用于直杆两端的两个外力等值、反向，且作用线与杆的轴线重合，杆件产生沿轴线方向的伸长（或缩短）。这种变形形式称为轴向拉伸（或轴向压缩），这类杆称为拉杆（或压杆）。

4）内力的概念

构件的材料是有许多质点组成的。构件不受外力作用时，材料内部质点之间保持一定的相互作用力，使构件具有固体形状。当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。

5）虎克定律

绝对变形与杆件的长度有关，为去掉杆件原长对变形的影响，常用单位长度的变形量来表示杆件的变形程度，称之为纵向线应变（或线应变），用ε表示

ε

=

L

L

∆

在弹性范围内，变形与轴力及杆件的长度成正比，与杆件的横截面积成反比。这一关系称为虎克定律。

6）材料在拉伸时的机械性质：

塑性材料拉伸时的机械性质有四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、缩颈

阶段

7）拉（压）杆的强度条件：A

N =σ≤[]σ 2.内力的求法——截面法

如图8-4所示的构件，在杆端沿杆的轴线作用着大小相等、方向相反的两个

力，杆件处于平衡状态，求m —m 断面上的内

力。

（1）为显示内力，用一假想截面将构件在

m —m

断面处切开，将构件分为A 段和B 段。任

意保留一段（如A 段）为研究对象（图8-4），

弃去另一段（如B 段）。

（2）在保留段A 的m —m 截面上，各处作用着内力，设这些内力的合力为，

它是弃去部分B 对保留部分A 的作用力。

（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开后的任意一部分仍应保持

平衡，故可对保留部分A 建立平衡方程。

0=∑x F ， 0=-F N

故 F N =

N 即是截面m —m 上的内力。由作用和反作用公理可知，若保留B 段研究，

也可得出同样的结果（见图8-4）。式称为内力方程，它反映了截面上的内力与

该截面一侧外力间的关系。

拉压杆的内力由于沿杆的轴线方向，故也称之为杆件横截面m —m 上的轴力。

通常规定拉伸时轴力取正号（即轴力的箭头背离截面），压缩时轴力取负号（即

轴力的箭头指向截面）。计算轴力时可设轴力为正，这样求出的轴力正负号与变

形保持一致。

上述利用假想截面将杆件切开，以显示并计算内力的方法，称为截面法。在

其他基本变形中，内力也都用此方法求得。

截面法求内力的步骤可归纳为:

（1）截开:在欲求内力截面处,用一假想截面将构件一分为二。

（2） 代替:弃去任一部分,并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替

8-4 轴向拉伸的内力计算

(即显示内力)。

（3）平衡:根据保留部分的平衡条件,确定截面内力值。

3、轴力与轴力图

为了表示轴力随横截面位置的变化情况，用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示轴力的数值，这样的图称为轴力图。

如图所示为一受拉杆,用截面法求m-m 截面上的内力，取左段为研究对象：

由ΣX=0 N-P=0

解得N=P

同样以右段为研究对象：

由ΣX=0 N/-P=0

解得N/=P

由上可见N与N/大小相等，方向相反，符合作用与反作用定律。由于内力的作用线与轴线重合，故称轴力。其实际是横截面上分布内力的合力。

为了无论取哪段，均使求得的同一截面上的轴力N有相同的符号，则规定：轴力N方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力；相反为负，即为压力。4.应力的概念：

分布内力在某点的处的集度，即为该点处的应力。

横截面上的正应力

假设：

平面假设

横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。

拉应力为正，压应力为负。

对于等直杆 ：当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-----危险截面。 危险截面上的正应力----最大工作应力

5.拉压杆的变形及虎克定律

杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用L ∆表示。设杆

件变形前的长度为L ，变形后的长度为1L ，则其绝对变形

L L L -=∆1

显然，拉伸时绝对变形为正，压缩时绝对变形为负。

绝对变形与杆件的长度有关，为去掉杆件原长对变形的影响，常用单位长度的变形量来表示杆件的变形程度，称之为纵向线应变（或线应变），用ε表示 L L ∆=ε ε为无量纲的量，其正负号取决于绝对变形。

实验证明：在弹性范围内，变形与轴力及杆件的长度成正比，与杆件的横截面积成反比。这一关系称为虎克定律。可用下式表达

EA NL L =∆

6.拉压杆的强度计算

由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。

极限应力、许用应力、安全系数

轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。塑性及脆性材料的极限应力o σ分别为屈服极限s σ（或2.0σ）和强度极限b σ，则材料在单向应力状态下的破坏条件为

o σσ=

材料的许用拉（压）应力

⎩⎨⎧==：横截面面积

：横截面上的轴力A F A F A F N N σA F max ,N max =σ