最新33泰勒公式汇总
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33泰勒公式
第三节泰勒公式
教学目的：使学生了解泰勒公式，并会求简单函数的泰勒展开式。
教学重点：函数的泰勒展开式
教学过程：
多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在§2、8中，我们已见过：«Skip Record If...»等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。
设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某一开区间内具有直到«Skip Record If...»阶导数，试求一个多项式
«Skip Record If...» (1)
来近似表达«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»和«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点有相同的函数值和直到«Skip Record If...»阶导数的各阶导数，即：«Skip Record If...»。
下面确定«Skip Record If...»的系数«Skip Record If...»，通过求导，不难得到«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...» (2)
这个«Skip Record If...»即为所求。
Taylor中值定理：如果函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某区间
«Skip Record If...»内具有直到«Skip Record If...»阶的导数，则当«Skip Record
If...»时，«Skip Record If...»可表示为«Skip Record If...»的一个多项式«Skip
Record If...»和一个余项«Skip Record If...»之和：
«Skip Record If...» (3)
其中«Skip Record If...»（«Skip Record If...»介于«Skip Record If...»与«Skip
Record If...»之间）
证明：令«Skip Record If...»，下证«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与
«Skip Record If...»之间，使得：
«Skip Record If...»
由于«Skip Record If...»有直到«Skip Record If...»阶导数，«Skip Record If...»为多项
式，故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内有直到«Skip Record If...»阶导数，并且«Skip Record If...»。现对函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»在以
«Skip Record If...»和«Skip Record If...»为端点的区间上应用Cauchy中值定理，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间）
«Skip Record If...»
（«Skip Record If...»介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间）
如此继续下去，经过«Skip Record If...»次后，«Skip Record If...»一个«Skip Record If...»介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间，使得
«Skip Record If...»，显然«Skip Record If...»介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间。一般地，记号
«Skip Record If...»
又因为«Skip Record If...»而«Skip Record If...»为«Skip Record If...»次多项式，故当
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»或«Skip Record If...»（«Skip Record If...»介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间）。
注1：（3）式称为«Skip Record If...»按«Skip Record If...»的幂展开到«Ski p
Record If...»阶的Taylor公式，«Skip Record If...»的表达式（4）称为Lagrange
型余项；
2：当«Skip Record If...»时（3）变为：«Skip Record If...»（«Skip Record
If...»介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间），这就是Lagrange公
式；
3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式«Skip Record If...»来近似表达«Skip
Record If...»，所产生的误差为«Skip Record If...»，再由（4）式，不难看出：若在«Skip Record If...»上，有«Skip Record If...»，则有：«Skip Record If...»，此时
«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»
4：若特别地，取«Skip Record If...»，这时（3）式变为：
«Skip Record If...» (5)