2012-07 维修系统的可靠性计算

系统在任意时刻t开始处于工作状态，经过
Δt时间后，系统发生故障（最多一次）的概率为
P01{t} P{ X (t t ) 1 | X (t ) 0} P{ t} 1 exp( t ) t o ( t )
系统在任意时刻t开始处于工作状态，经 过Δt时间后，系统仍然正常工作的概率为
维修率的估计量
ˆ 在工程上，维修率的估计量 (t) 为 n(t) ˆ (t) N s t ˆ 式中: N s 是在时刻t尚未修复的产品数; (t) 可用 规定条件下和规定时间内完成维修的总次数与维 修总时间之比表示。
可靠度是失效时间 大于t的概率，维修度是修 理时间 小于或等于t的概率。为使可靠性高， 失效率必须小；要使维修度大，则修复率也必须 大才行。对实际产品，总是希望失效率尽可能小 而修复率尽可能大，它们之间的关系见下表:
设计之前,应明确定性和定量要求，将定性要 求转化为设计准则，按定量要求确定选用参数和 指标。
(1)维修性定性要求及确定
维修性定性要求一般包括以下内容： (1)具有良好的可达性；
(2)达到较高的标准化水平和互换性要求；
(3)确保系统安全； (4)具有完善的防差错措施和识别标志； (5)良好的可测试性； (6)尽量减少维修项目，降低维修技能要求;
维修度表示产品在规定的条件下和规定的时间内 ，按照规定的程序和方法进行维修时，保持或恢 复到规定状态的概率。
在工程实践中，维修度用试验或统计数据来求得 ˆ G ，N为有限个产品总数， (t ) 的估计量G (t ) 为 ˆ (t ) n(t ) G N 维修时间密度函数 g (t ) (或称维修密度函数)， 表示为
(7)对贵重件应有可修复性要求；
(8)符合维修的人机工程要求。
如何确定维修性要求?
为了确定维修性要求，应全面了解以往类似产品 在维修性方面存在的不足和缺陷，并针对本产品 的特殊性，有的放矢地提出该产品在维修性方面 的要求；参照我国国家军用标准GJB368《装备维 修性通用规范》、该类产品的专用规范和相关的 设计手册最终确定维修性要求。 例如,某产品中设计中,有结构复杂的高性质火控 系统，则维修性要求的重点是产品的电子部分的 模块化和自动检测。
dG(t ) G(t t ) G(t ) g (t ) lim t 0 dt t
G(t ) g (t )dt
0
t
维修密度函数
ˆ 同样，g (t ) 的估计量 g (t ) 表示为
n(t t ) n(t ) n(t ) ˆ g (t ) Nt Nt 式中： n(t ) —时间 t 内完成修复的产品数。
维修系统、维修过程定义
维修系统：指系统的组成单元（或零部件）发生 故障后，经过修理使系统恢复到正常工作状态。
维修过程：系统发生故障后，一般要寻找故障部 位，对其进行修理或更换，直到最后验证系统已 确实恢复到正常工作状态，这一系列工作过程称 为维修过程。
0 维修性的要求及指标
维修性要求 产品维修性的基本要求包括:维修性定性要求 和维修性定量要求。其关系如下: 维修性定性要求是描述定量指标的必要条件， 而定量指标是在定性要求的约束下来实现的。
可用度
可用性（availability）: 可靠性与维修性合起 来称为可用性。
产品的可用性可用可用度来衡量，是可用性的概 率表示。 可用度：指可维修产品在规定的条件下使用时， 在某个时刻t具有（或维持）其规定功能的概率。 可用性的持征量——可用度，分为瞬时可用度、 平均可用度与稳态可用度。
随着时间的进程，可维修产品总是在正常与故障 状态交替，如下图。为研究时刻t产品处于的状态 ，引入X(t)表示产品在时刻t的状态，定义为
P00{t} P{ X (t t ) 0 | X (t ) 0} 1 P{ t} exp( t ) 1 t o ( t )
系统在任意时刻t开始处于故障状态，经
过Δt时间后，系统被维修从而达到正常工作
状态的概率为
P10 {t} P{ X (t t ) 0 | X (t ) 1} P{ t} 1 exp( t ) t o ( t )
设系统只有两种状态：正常（0）与故障（1）
。系统由正常状态0因出故障而转移到故障状态1；
故障状态1经过修理恢复到正常状态0。
这种状态的转移是随机的。对这种状态起作用
的只是现在所处的状态，与以前的状态转移无关，
故此系统的状态转移过程是一马尔可夫过程。
状态转移关系：
维修
0
1
故障
几点假设：
1）部件的寿命和故障后的修复时间分布均 为指数分布
2）部件和系统仅有正常和故障两种状态
3）部件的故障和维修过程是相互独立的
4）部件一经修复，就同新的一样
5）在任意小的时间间隔内发生两次以上的
状态转移的概率，可以忽略不计
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1920
1987
2006
2 单部件维修系统
单部件维修系统是最简单的维修系统。当部件工 作时，系统处于正常状态；当部件出故障时，系统处 于故障状态。 设X(t)表示时刻t系统所处的状态，当在时刻t系 统处于正常状态，X(t)=0；当在时刻t系统处于故障 状态，X(t)=1。
t
假设可维修产品从t=0开始工作，且产品是完好 的。若寿命分布为 F (t ) 1 e t 维修分布为 示：
G (t ) 1 e t ，则产品的瞬时可用度用下式表
A(t )






e
( ) t
产品的瞬时不可用度为
u (t ) 1 A(t )
于是有
t ( x)dx G(t ) 1 exp 0
与瞬时修复率相对应，产品从t=0起进行修理， 在时刻t处于修理状态，在dt时间内修复的概率 称为平均修复率，记作 (t ) : 1 (t ) Pt t t | t t 1 Pt t t t P t
0 1-λ Δ t λ Δt
1 1-μ Δ t
系统的有效度A(t)
设P0 (t)表示系统在在时刻t处于状态 “0”的概率；P1 (t)表示系统在在时刻t处 于状态“1”的概率，于是有
P0 {t} P{ X (t ) 0} A(t ) P1{t} P{ X (t ) 1}
由全概率公式可得 P0 {t t} P0 {t}P00 {t} P1{t}P10 {t}
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五 维修系统的可靠性计算
绝大多数的系统都是可维修系统，对维修系统的 可靠性分析比不可维修系统的可靠性分析要复杂 得多。 维修系统分为: 马尔可夫维修系统、非马尔可夫 维修系统。 马尔可夫维修系统，是指那些可以用马尔可夫随 机过程理论来分析的系统。 本章只介绍这种系统。
令,
P{ t ) 1 exp( t )
0 t0 0 t0
P00 表示系统在[t，t+Δt]内保持状态“0”的概率 P11 表示系统在[t，t+Δt]内保持状态“1”的概率 P01 表示系统由状态“0”向状态“1”转移的概率
P10 表示系统由状态“1”向状态“0”转移的概率
{ xk(t)}=( { xk(t1)}, { xk(t2)},…), k=1,2,… 或记作 X(t)= {x1(t), x2(t),…}
马尔可夫随机过程
1907年，俄国人马尔可夫提出来的，研究的是系 统状态与状态之间的转移关系。 马尔可夫随机过程是一典型的随机过程，其定义 如下： 如果t1< t2<„< tk∈T，对随机过程X(t)，有 P{x(tk)= xk| x(tk-1)= xk-1,„, x(t1)= x1 } = P{x(tk)= xk| x(tk-1)= xk-1 } 则称随机过程为一阶马尔可夫随机过程，简称马尔可 夫过程。
随机过程的基本概念
随机现象的单个时间历程，称为样本函
数。在有限时间区间上观测得到的样本函数
称为样本记录。随机现象可能产生的全部样
本函数的集合（总体）定义为随机过程。即
{xk(t)}={x1(t), x2(t),„},
k=1,2,„
-∞<t<∞,
随机过程也可以用随机变量来定义： 如果任意一时刻tn∈T，{ xk(tn)}都Leabharlann Baidu随 机变量，那么{ xk(t)}是一随机过程，这里


e ( ) t
产品的平均可用度为
1 t A (t ) A( x)dx 1 e ( ) t 2 0 t ( ) t


在瞬态可用度的表达式中，令 t ，得稳态 可用度
A


1 马尔可夫随机过程
系统在任意时刻t开始处于故障状态，经
过Δt时间后，系统未被维修仍然处于故障状
态的概率为
P11{t} P{ X (t t ) 1 | X (t ) 1} 1 P{ t} exp( t ) 1 t o ( t )
系统状态转移图
. μ Δt
由上式可见， (t ) 的工程意义是单位时间内完成 g 预期维修的概率，或单位时间内完成维修数与总 送维修数之比。
瞬时修复率
产品的瞬时修复率 (t ) 是指修理时间己达到某 个时刻但尚未修复的产品，在该时刻后的某单位 时间内完成修理的概率，因此有：
G ' (t ) g (t ) (t ) 1 G (t ) 1 G (t )
u(t ) P{X (t ) 1} 1 A(t )
平均可用度是指某个规定区间内有用度的平均值。取 (0,t]区间，平均可用度为
1 t A (t ) A( x)dx t 0
该指标表示为产品在区间(0,t]中的期望产品完好时间与 总时间之比。
如果极限
A lim A(t ) 存在，则称A为稳态可用度。
(2)维修性定量要求
产品维修性的定量描述，是对维修性优劣的度量 。描述维修性的量称为维修性参数，或维修性指 标。 维修性主要反映在产品由故障状态恢复到正 常状态的维修时间上，显然，维修时间是非负的 随机变量，记为 。 设产品的维修时间 的分布函数为G ( ) ， 称此为产品的维修度，即
G(t ) P{ t} 式中：t—规定的维修时间。
表示产品在时刻t完好 0 X (t) 1 表示产品在时刻t发生故障
对于固定的t，X(t)是随机变量；当t变动时， X(t)是随机过程。
按可用度的定义，写出如下表达式：
A(t ) P{X (t ) 0}
A(t)为瞬时可用度，说明产品在时刻t具有或维持其规定 功能的概率。与可用度对应，瞬时不可用度u(t)定义为
对马尔可夫过程X(t)，如果对任意的u,t≥0，均有
P{X(t+u)=j|X(t)=i}=Pij(t) 态转移概率。 从以上定义可知，马尔可夫过程的将来值与所 有过去值是无关的，只与现在值有关。这就是所谓 的过程无后效性，或称为马尔可夫性。 i,j∈E={0,1,2,„}
则称X(t)为齐次马尔可夫过程。式中，Pij(t)为状
显然，{ X(t)}是一个随机过程，又由于指数分 布的无记忆性，{ X(t)}是一个齐次马尔可夫过程。
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要求解的问题：
系统在时刻t处于“0”和状态“1”的概率？ P0 (t)或P1 (t)？
设系统寿命ξ呈参数为λ的指数分布；维修时间 η呈参数为μ的指数分布：
P{ t ) 1 exp( t )
1 G (t t ) G (t ) t 1 G (t )
平均修复时间MTTR为产品修复时间的平均值，即 MTTR tg(t )dt
0
当维修分布是指数分布时，即
则有
G (t ) 1 e t 1 MTTR
(常数) 0

即在指数分布时，MTTR和修复率 互为倒数。