(仅供参考)几何与代数第2章习题答案

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高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)

高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ）二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个奇排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ）三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2，则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。

七年级(上册)数学课后答案解析

七年级上册第一章１.１具有相反意义的量
１.２数轴相反数与绝对值
１.３有理数大小的比较
１.４.１有理数的加法
１.４.２有理数的减法
１.５有理数的乘法和除法
１.６有理数的乘方
１.７有理数的混合运算
第一章复习题
第二章２.１用字母表示
２.２列代数式
２.３代数式的值
２.４整式
２.５整式的加法和减法
第二章复习题
第三章３.１建立一元一次方程模型
３.２等式的性质
３.２一元一次方程的解法
３.４一元一次方程模型的应用
第三章复习题
第四章４.１几何图形
４.２线段射线直线
４.３.１角与角的大小
４.３.２角的度量与计算
第五章复习题
５.１数据的收集与抽样
５.２统计图
第六章复习题。

高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目

高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目篇一：高等代数与解析几何教学大纲附件1教学大纲课程编号：课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry课程性质：学科基础课课程类别：必修课先修课程：高中数学学分：4+4总学时数：72+72周学时数：4+4适用专业：统计学适用学生类别：内招生开课单位：信息科学技术学院数学系一、教学目标及教学要求1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。

它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。

2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。

3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。

通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。

二、本课程的重点和难点（略。

由课任教师自行掌握）三、主要实践性教学环节及要求精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。

四、教材与主要参考文献教材：（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。

参考书： 1. ，陈志杰编著，高等教育出版社，2000年；2.，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。

五、考核形式与成绩计算考核形式：闭卷考试。

成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，期末考试占70%。

六、基本教学内容第二学期第一周—第二周：（8课时）第一章：向量代数与解析几何基础1. 代数与几何发展概述。

2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线性关系3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。

第二章习题课与圆有关的最值问题

习题课与圆有关的最值问题学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．导语2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里．一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r .4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2.例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________．答案－34解析直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B解析因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2.因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上，所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4|5＝3，切线长的最小值为d 2－R 2＝9－4＝ 5.反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．0 答案 B解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1，切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝(m －1)2＋9，即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短．(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．答案 2 2解析设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2.当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2.∴最短弦长为2 2.二、与面积相关的最值问题例2 已知点O (0,0)，A (0,2)，点M 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，则△OAM 面积的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析根据题意，得圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r ＝2，O (0,0)，A (0,2)，OA 所在的直线是y 轴，当M 到直线AO 的距离最小时，△OAM 的面积最小，则M 到直线AO 的距离的最小值d ＝3－2＝1，则△OAM 的面积最小值S ＝12×|OA |×d ＝1.反思感悟求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．跟踪训练2 (1)直线y ＝kx ＋3与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为( )A ．1 B.12 C.24 D.34答案 B解析设圆心到直线的距离为d (0<d <1)，则所截得的弦长l ＝21－d 2，所以S △ABO ＝12·21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2，由基本不等式，可得S △ABO ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当d ＝22时，等号成立． (2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k ＝________. 答案 2解析圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，由圆的性质可知，四边形的面积S ＝2S △PBC ，又四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为S ＝1＝12r |PB |min ＝12|PB |min ，则|PB |min ＝2，因为|PB |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1，所以当|PC |取最小值时，|PB |最小．又点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0上的动点，当CP 垂直于直线kx ＋y ＋4＝0时，|PC |最小，即为圆心C (0,1)到直线的距离，所以|1＋4|k 2＋1＝22＋12＝5，解得k ＝±2，因为k >0，所以k ＝2.三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题例3 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求yx的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.(1)yx表示圆上的点P 与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|P 1E |＝|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|P 2E |＝|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，此时圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.反思感悟 (1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb 的截距的最值问题．跟踪训练3 (多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则下列说法正确的是( ) A ．y －x 的最大值为6－2 B ．x 2＋y 2的最大值为7＋4 3 C.y x 的最大值为32D ．x ＋y 的最大值为2＋ 3 答案 AB解析对于A ，设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|2＋z |2≤3，解得－6－2≤z ≤6－2，所以y －x 的最大值为6－2，故A 说法正确；对于B ，x 2＋y 2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋3，所以x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，故B 说法正确；对于C ，设yx ＝k ，把y ＝kx 代入圆方程得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k 2)≥0，解得－3≤k ≤3，yx的最大值为3，故C 说法错误；对于D ，设m ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋m ，m 表示直线y ＝－x ＋m 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|－2＋m |2≤3，解得－6＋2≤m ≤6＋2，所以x ＋y 的最大值为6＋2，故D 说法错误．1．知识清单：(1)与距离、面积有关的最值问题(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题． 2．方法归纳：数形结合、转化思想． 3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．1．圆x 2＋y 2＝4上的点到直线4x －3y ＋25＝0的距离的取值范围是( ) A ．[3,7] B ．[1,9] C ．[0,5] D ．[0,3]答案 A解析 x 2＋y 2＝4，圆心(0,0)，半径r ＝2，圆心到直线4x －3y ＋25＝0的距离d ＝|0－0＋25|42＋(－3)2＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．2．已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．4 答案 B解析根据题意，圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，其圆心C (4,3)，半径r ＝2，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |＝|PC |2－4，当|PC |最小时，|PQ |最小，又由点P 在单位圆上，则|PC |的最小值为|OC |－1＝9＋16－1＝4，则|PQ |的最小值为16－4＝2 3.3．点M (x ，y )在圆x 2＋(y －2)2＝1上运动，则yx 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B. (－∞，－3]C. (－∞，－3]∪[3，＋∞)D. [－3，3] 答案 C解析将yx看作圆上动点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率，如图，可得k ≥3或k ≤－ 3.4．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＝0，动点P 在圆C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为_________．答案 4 5解析因为C 1(－2,2)，r 1＝22，C 2(2,0)，r 2＝4，所以|C 1C 2|＝(－2－2)2＋22＝25，当PC 2⊥C 1C 2时，△PC 1C 2的面积最大，其最大值为12×25×4＝4 5.课时对点练1．已知过点(1,1)的直线l 与圆x 2＋y 2－4x ＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析将圆的方程x 2＋y 2－4x ＝0化为标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为(2,0)，半径r ＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为2， |AB |的最小值为222－(2)2＝2 2.2．已知点P 是直线3x ＋4y ＋5＝0上的动点，点Q 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝4上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A.195 B.95 C.59 D.295 答案 B解析圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心为(2,2)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离为|6＋8＋5|5＝195，所以|PQ |的最小值为195－2＝95.3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －1＝0，则y －2x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－9,1 B ．－10,1 C ．－9,2 D ．－10,2答案 A解析 y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝2x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切时，b 取得最大值或最小值，此时|2×2＋b |1＋22＝5，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A. 2B. 3 C．1 D．3答案 A解析由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.5．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y21＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为()A.55 B.15 C.1215 D.1155答案 B解析由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为15.6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为3时，r的值为()A．2 B. 3 C. 2 D．1答案 D解析如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小．由题意得|PC|min＝d＝|3×(－1)＋4×0－7|32＋42＝2，所以(3)2＝22－r2，∴r＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 ∵直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1)2＝2，∴半径最大为2，∴半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.8．已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，则m 的最小值为________．答案 3解析根据题意，点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，则AB 的中点为(0,0)，|AB |＝2m ，则以AB 的中点为圆心，半径r ＝12×|AB |的圆为x 2＋y 2＝m 2，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，则圆C 与圆O 有交点，必有|m －2|≤|OC |≤m ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧|m －2|≤5，m ＋2≥5，又由m >0，解得3≤m ≤7，即m 的最小值为3.9．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C 的方程x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22，又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，∴n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知直线l ：3x ＋4y ＋1＝0，一个圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3.(1)求圆的方程．(2)P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值．解 (1)圆与x ，y 轴正半轴都相切，∴圆的方程可设为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心C 到直线的距离为3，∴由点到直线的距离公式，得d ＝|3a ＋4a ＋1|32＋42＝3，解得a ＝2，∴半径为2.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，∴△PCE≌△PCF，∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离，由(1)知|PC|min＝3，∴|PE|2min＝32－4＝5，即|PE|min＝5，∴S△PCE＝12|EC|·|PE|＝12×2×5＝5，∴四边形PECF面积的最小值为2 5.11．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6 B．4 C．3 D．2答案 B解析如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为()A．5 B．10 C．15 D．20答案 A解析如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为5.13．已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，点B 的坐标为(0,2)，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，则|PB |＋|PQ |的最小值为________．答案 2 5解析由于点B (0,2)关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－R ＝35－5＝25，所以|PB |＋|PQ |的最小值为2 5.14．已知实数x ，y 满足方程y ＝－x 2＋4x －1，则y x的取值范围是________．答案 [0，3]解析方程y ＝－x 2＋4x －1化为(x －2)2＋y 2＝3(y ≥0)，表示的图形是一个半圆，令y x＝k ，即y ＝kx ，如图所示，当直线与半圆相切时，k ＝3，所以y x的取值范围是[0，3]．15．已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为________．答案 30解析把圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，圆心M (1，－1)，半径r ＝ 3.直线l 与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d ＝|1－(－1)－1|12＋(－1)2＝22，由勾股定理得半弦长＝3－⎝⎛⎭⎫222＝102，所以弦长|AC |＝2×102＝10. 又B ，D 两点在圆上，并且位于直线l 的两侧，四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，当B ，D 为如图所示位置，即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积为S ＝12|AC |×|BE |＋12|AC |×|DE |＝12|AC |×|BD |＝12×10×23＝30. 16．已知圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知N (2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l 1与圆C 交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．①求证：1x 1＋1x 2为定值； ②求|PN |2＋|QN |2的最大值．(1)解由圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65，设C (a ，0)，直线l ：4x ＋3y －6＝0的斜率为－43，则k CM ＝6535－a ，所以6535－a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，所以a ＝－1，所以C (－1,0)，|CM |＝⎝⎛⎭⎫－1－352＋⎝⎛⎭⎫652＝2，即r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)①证明设直线l 1：y ＝kx (k >0)，与圆联立方程组可得(1＋k 2)x 2＋2x －3＝0，Δ＝4＋12(1＋k 2)>0，x 1＋x 2＝－21＋k 2，x 1x 2＝－31＋k 2，则 1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23为定值．②解 |PN |2＋|QN |2＝(x 1－2)2＋(y 1－1)2＋(x 2－2)2＋(y 2－1)2＝(x 1－2)2＋(kx 1－1)2＋(x 2－2)2＋(kx 2－1)2＝(1＋k 2)(x 1＋x 2)2－2(1＋k 2)x 1x 2－(4＋2k )(x 1＋x 2)＋10＝12＋4k 1＋k 2＋16，令t ＝3＋k (t >3)，则k ＝t －3，所以12＋4k 1＋k 2＋16＝4t 1＋(t －3)2＋16＝4t ＋10t－6＋16≤4210－6＋16＝210＋22，当且仅当t ＝10t，即t ＝10时，取等号，此时k ＝10－3，所以|PN |2＋|QN |2的最大值为210＋22.。

高等数学第2章课后习题及答案

-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的那么称为该物体旋转的角速度如果旋转t是非匀速的应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在证明 f(0)证明当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程解因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头产生同心波纹若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中当水深为 5m 时其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中开始时漏斗中盛满了溶液已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时其表面下降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。

高等代数与解析几何习题答案

习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。

证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。

（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。

又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。

证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。

证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。

现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。

几何与代数习题参考答案_一二三章

8 −3
四、解：因为 (α × β ) ⋅ γ = 0
2 −1 = 63 ≠ 0, 3
1
2 2
所以 α , β , γ 不共面，
以这三个向量为棱所作的平行六面体体积 V = (α × β ) ⋅ γ = 63 。 ----------直接用混合积计算体积,判断共面性.
五、解：由于 α , β 不共线，向量 α , β , γ 共面，则可设 γ = xα + y β , 而
关于参考答案的说明
1、 2、 3、 4、本答案仅仅具有参考作用，因为不少题目或许有多种解法，此处不过是给了其中一种。况且偶尔也会出现错误。有时应该相信自己。如果你能清楚说明为什么自己是正确的，则你已成功。对自己的答案不太确定时，想办法证明自己对或不对，这种能力更为重要。不可能每件事情都有现成的答案在那里等你参考、核对。当你思考题目该怎么做？这样想、那样想对不对等诸如此类的问题时，不知不觉中，你已在进步。所以重要的是想，是思考。
所以当 a = 7, b ≠ 5 时方程组无解；当 a = 7, b = 5 时方程组有无穷多解。三、解：根据方程式，得到方程组
⎧ 6 x1 = x3 ⎧ 6 x1 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎨6 x1 = 2 x4 , 即 ⎨6 x1 − 2 x4 = 0 , 直接取 x1 为自由未知量得， ⎪ 2x = x ⎪ 2x − x = 0 4 ⎩ 2 ⎩ 2 4
---------- 共面即说是线性组合，待定系数法。
小结：內积、外积、混合积何时为 0 最为重要，也经常使用。应用它们之前首先得清楚它们的几何意义。当然如果不会计算一切都是空谈。计算分两种，一是用定义；一是用坐标。特
3
别要记住用坐标如何计算。

《几何与代数》科学出版社习题解析第二章

第二章矩阵
习题解析
则 A ( E B)
n
0 0 1 2 0 0 , B3 B4 Bn 0(n 3) B 0
n(n 1) n 2 2 n E n B B B 2！
n 1
第二章矩阵
习题解析
1 n 6(4) 设 A 1 ,计算 A . 0 1 0 解设 A E B, B 0 1 0 n n
(r) P,Q可逆,A m n
=PE
(r) m nQ.
7 max r A , r B r A, B r A r B
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
5) If AB 0, then r A r B n.
单位矩阵
第二章矩阵
§2.1 矩阵的代数运算
• 矩阵乘法交换率一般不成立 (AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk 2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n (a En) AA* A* A A E 5. AA1 A1 A E 4. • 矩阵乘法消去率一般不成立. AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立. AB O, A 0 B O
T T
T
第二章矩阵
习题解析
9.
已知3级方阵A按列分块为A (1 , 2 , 3 )，
且 A 5, 若B (1 2 2 ,31 4 3 ,5 2 )，求 B .

《高等代数》第二章习题及答案

习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵．解设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．）解不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．证因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的．如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3．解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00，从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。

高等数学线性代数习题答案第二章

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

微分几何答案(第二章)

第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ+ycos ϑsin ϕ+zsin ϑ-a=0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

几何代数习题参考答案201100303_第一章

习题一（1）向量的线性运算与空间直角坐标系一、填空题1. 1） 2,πβα=； 2） 0,=βα； 3）βαπβα≥=且,,； 4）0=βα，；5） 0≤αβαβ+=>−=2． 1）线性相关； 2）线性无关；3）线性相关； 4）线性无关。

3． )5,3,2(−−；(2,3,5)−−；(2,3,5)−；(2,3,0)−； (0,3,0)；2二、证明： ∵,+=与平行，∴可设λ−= 所以，λβαλλλλλ+−=+−=−−=−=)1()1()(.三、解：因为 ,)()()(θαγγββα=−+−+− 所以向量αγγββα−−−,,共面。

----------想清楚共面与上面等式的关系四、解：设M 的坐标为),,(z y x ，则有),3,2,1(),3,2,1(z y x z y x −−−−=−−−=由条件，1233,5,2,3,(5,2,3)1232x y z x y z M x y z −−−===−∴=−==∴−−−−−。

五、解：设α的方向余弦为γβαcos ,cos ,cos ，则 ,353cos =α,355cos =β351cos −=γ。

平行的单位向量为±。

--有两个；单位向量实际上代表了向量的方向（2）向量的内积与外积一、判断题1．（错） ----------化简成()0αβγ⋅−=就明显了，2．（对） ----------注意一些命题的不同说法3．（错） ----------外积是一个向量4．（对）二、填空题1．（1）6−；(2) 13；(3) 61−。

----------充分利用內积的运算性质：和数的加法、乘法没啥不同，交换律、结合律、分配律2．30±。

3．154。

---------- 外积可以用来求面积，是平行四边形的三、解1）=×γω()()(1)λαβαβλαβ+×−=−+×，当ω与γ平行时，ω与γ平行时， θβαπβαγω≠×∴==×,32,,0∵，1λ=−。

线性代数习题解答第一二三章

β （图1）总习题一一、问答题1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.解在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121b b a a ==βα如图，以βα,为邻边的平行四边形的面积为><=βαβα,sin ||||S 平行四边形，而||||,cos βαβαβα⋅>=< ，故|-1|2><=βαβα,sin ||||S 平行四边形 ||||21211221b b a a b a b a =-=这就是说，二阶行列式2121b b a a 表示平面上以),(),,(2121b b a a ==βα为邻边的平行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量β而得到时面积取负值．空间三向量),,(),,,(),,,(321321321c c c b b b a a a ===γβα的混合积)(γβα⨯⋅的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即=平行六面体V |||)(321321321c c c b b b a a a |=⨯⋅γβα 三阶行列式321321321c c c b b b a a a 表示以γβα，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当γβα，，构成右手系时，体积取正值；当γβα，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．类比二、三阶行列式，n 阶行列式|,,,|D n n ααα 21=是由n 维向量n,,,ααα 21张成的n 维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n 维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势．- 2 - 习题解答2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？解由定义知，在行列式ijn nD a ⨯=中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，保持相对位置不变得到的1n -阶行列式称为该元素的余子式，记为ij M ．而把(1)i j ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余子式．例如：在行列式1D =123451789-中，将第二行元素都换成1，得2D =123111789，那么2D 的第二行各元素的代数余子式与1D 的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1s i s i D A a sk nk ik ， ⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1t j t j D A a kt nk kj ． 3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.解线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义．设三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()(333332222211111πππ d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a , 三个方程在空间分别表示三个平面123,,πππ，该方程组有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利地迁移到对n 元线性方程组的解地理解上去。

高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案

|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0．（ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ．综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ．已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程．解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程直线与直线的位置关系直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程描述：直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系描述：直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ．当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ；当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ；当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ．当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ；当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ；当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ．例题：直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定解：两直线的斜率分别为交．）

第二章 2.3.1 圆的标准方程

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第二章平面解析几何初步
法二：∵圆过 A(5,2)、B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上， 1 线段 AB 的垂直平分线方程为 y＝－ (x－4)， 2 2x－y－3＝0 x＝2 由，解得，即圆 C 的坐 1 y＝1 y＝－2(x－4) 标为(2,1)， ∴r＝|CA|＝ (5－2)2＋(2－1)2＝ 10. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
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第二章平面解析几何初步
【解】法一：设△ABC 的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知得， (1－a)2＋(4－b)2＝r2 2 2 2 (－2－a) ＋(3－b) ＝r ，解得 (4－a)2＋(－5－b)2＝r2 a＝1 b＝－1 r＝5 .
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1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径． (2)圆的标准方程的形式： (x－a)2＋(y－ b)2＝r2. (3)求圆的方程的步骤：建系、设点、列式、化简、证明．
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(新版)代数与几何答案

第一章行列式一、填空题 1.2)1(-n n ； 2. 42312314,!4a a a a - 3. 0 ；4. 1222+++c b a ； 5. 1，2，3； 6. 1，或 -2 .二、选择题 D C B B C.三、计算题1. 解： 122334,,r r r r r r D ---104106310321011112334r r r r --,4100310032101111=12. 解： D n （从最后一列开始）列加到第将第1-i i 2)1(1+=∑==n n i ni . 3. 解：1111111111114321-----+---+++a a a a a a a Dc c c c 40001001001001a a a a a==四、解答题解：14131211432A A A A +++1313120210114321---==1514131211432M M M M +++1313120210114321-----==3五、证明题证明：因为42056963061223613214101001000c c c c +++5024205369696321606121632361 因为第四列的元素可以被16整除，所以行列式可被16整除.第二章矩阵及其运算一、填空题1. 327,- ；2.0；3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---32164232164； 4. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001 5. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---31310032310000520021 二、选择题 B AC D D ； BCCBB三、计算题1. 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−↔1101024431220130121121r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→00000216001101001211，所以秩为3.2. 解： *18)31(A A --=-=--1183A A A =---113A A 12-A ==-18A 64.3．解：(1) 由→)(E P )(1-P E 易得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1140120011P，⇒=PB AP 1-=PBP A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=116002001(2) 12112---==P PB PBP PBP A，同理 155-=P PB A52523)(A A E A f +-=∴152)523(-+-=P B B E P又 =+-52523B B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-400030006，,)(A f ∴1400030006-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--47340360064. 解法一：记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=300031001200002A ，对)(E A 进行初等行变换得)(1-A E 可求. 解法二：（利用分块矩阵）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31122A ，易求：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21137112A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴-31000021*********211A 5. 解：因为A B AB =-，B A AB =-∴B E B A =-⇒)( 两边同时右乘1-B 得：E BE B A =--1)(E B E A =-⇒-)(1，=-=∴--11B E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1000021000020020，由→-)(1E A )(A E 可得A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10000210410002100210. 四、证明题1．(1)证明： ,32A A = ,32O A A =-∴,4))(4(E E A E A -=+-∴ 从而,)4)(4(E EA A E =+- A E -∴4 可逆，且 4)4(1E A A E +=--. (2) 证明：,32A A = ,)3(O A E A =-∴假设A E -3可逆,则等式两边同时右乘(),31--A E 得O A =，与条件O A ≠矛盾，所以A E -3不可逆.2．证明：A A =2,∴=-⇒=-∴,)(2O E A A O A A R (A )+ R (A -E )≤n （1）又R (A )+ R (A -E )= R (A )+ R (E - A )≥R [A + (E - A )]= R (E )=n （2）由（1），（2）式知 R (A )+ R (E A -)= n.第三章向量与向量空间第四章欧氏空间一、填空题 1. 的实数2≠；2. -2 ； 3.T T )1,2,1(61,)1,0,1(21-；4. 40；5. 0453=+--z y x ；6. 0),(22=+±z y x f ； 7. 椭圆柱面．二、选择题 D ； C ； D ； C ； C ； B ．三、解答题1．对矩阵),,,(4321αααα=A 施行初等行变换：→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6254533111113121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6630221022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000000022101301 从而得向量组4321,,,αααα的秩为2，一个最大无关组为 21,αα（不唯一）.其余向量在此最大无关组下的线性表示式分别为：214213223αααααα+-=+-=;.2．解：记),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，⑴ 设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为P , 即AP B = ∴ B A P 1-=由()()B A E B A 1101010432100010001341432321111001111-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=行变换得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101010432P ．⑵ 设(x ,y ,z )是γ在基321,,βββ的坐标，则有：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32141011125202167410111B z y x ． 3．解：过点M 与L 垂直的平面P ：0)3()1(2)2(3=---+-z y x 即：0523=--+z y x P 与L 的交点：)73,713,72(-, 故所求直线方程为431122-=--=-z y x .四、证明题1．证明：存在m k k k ,,21使得02211=-+-+-)()()(m m αβk αβk αβk 代入m αααβ+++= 21，整理得：0132231132=+++++++-m m m m αk k k αk k k αk k k )(,)()(因为)(,,121>m αααm 线性无关，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++-0001323132m m m k k k k k k k k k 而系数行列式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=011111110111110 D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=011111110111111m m m 0111≠--=-)()(m m ，所以齐次方程组只有零解，m k k k ,,21都为零。

几何与线性代数习题及答案

− 1 ⋅ 3 ⋅ 5" (2n − 3) = −(2n − 3) ！！。
⎛1 ⎞ ⎛ 5 −1 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 二、已知 ξ = ⎜1 ⎟ 是矩阵 A = ⎜ 5 a 3 ⎟ 的一个特征向量。 ⎜ − 1⎟ ⎜ −1 b − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
1）试确定系数 a, b 及特征向量 ξ 所对应的特征值。 2）问 A 在实数范围内能否相似于对角阵？说明理由。解：1）设 ξ 是 A 的对应于特征值 λ 的特征向量，则
*
A
λ
。
⎡1 2 2 ⎤ ⎢ ⎥ 6．已知向量 α = (1, k ,1) 是矩阵 A = 2 1 2 的一个特征向量，则 k = -2，1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 1 ⎣ ⎦
T
。
二、求下列矩阵的特征值和特征向量：
2⎞ ⎛−1 2 ⎜ ⎟ 1． ⎜ 3 − 1 1 ⎟ ⎜2 2 − 1⎟ ⎝ ⎠
解： λE − A = (λ − 3)(λ + 3) = 0 ，
−1
50
P −1 A −1 P = B −1 ，即
P −1 B* A* −1 * * * * P= ，亦即 P A P = B ，所以 A ~ B 。 A B
3）如果 A 与 B 相似， C 与 D 相似，则分别存在可逆矩阵 P 1 , P2 使得
P1 AP1 = C , P2 BP2 = D ，
6 ，(
1 * −1 A ) = 2
0 。
2/9
。
3．设 A 为 n 阶方阵， Ax = 0 有非零解，则 A 必有一特征值为
4．假设 n 阶矩阵 A 的任意一行中 n 个元素之和都为 a ，则 A 有一特征值为 a ，对应于此特征值的一个特征向量是 (1,1, " ,1) 。

线性代数与解析几何课后答案 (代万基廉庆荣)第二章书后习题2

A B C D
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1, A , B , C , D 1 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1
A D B C .从中可以看到，不能把行列式的所有结论都推广到分块矩阵。
a a x1 xn
a x2 a 0 0
a x1
a 0 x3 a 0
1
k 1
a xk a

0 0 0
(1
k 1
n
n a ) ( xk a ) xk a k 1
xn a
an
（4）
(a 1)n
(a n)n (a n )n 1 ( 1) an 1
习题 2-4
1. (1) 4
(2) 2
(3) 0
(4) 10
2.
O
B
A O
( 1)mn 6 ,
O
B
A C
( 1)mn 6 ,
D B A O
( 1)mn 6.
提高题 2-4
O O C O B ( mn ) k C ( 1)mn mk nk A B C 1. O B O ( 1) A O A O O
3
对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。 3. k 和 l 需满足
k l a ，解方程组可求出 k 和 l . kl b
习题
2-3
n ( n 1) 2
1. (1) ( 1)
n!
(2) ( 1)
n ( n 1) 2
(3) 1 ( 1)1n x1 x2
提高题 2-2

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t ，那么 x1 x，y1 y，z1 z t ，代
入方程得
x2 y2 x y
z z t
t2
0
1
，消去参数
t
得柱面方程：
2x2
2
y2
2xy
1。
（3）准线方程为
x2
y2
25
，母线方向为 5，3，2
；
z 0
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 5
y2
z
y
2
y1
x1 2
z
y12
z1
z1 2
0
。由于 M1 x1， y1， z1 在母线上，所以
x1 1
y1 2 2
z1 2 2
。则
x1
z1
2
2
，y1
z1
2 x y z 1
5
，代入消元，旋转曲面方程为
x2 y2 z2 9 4 x y z 12 2 x y z 1 1。
x 0
0
，旋转轴为
y
轴
x 0
y 1
z 0
，如果
M1 0，y1，z1 为
母线
上的任意点，那么过
M1
的纬圆为
y y1 0
x
2
y2
z2
y12
z12
，且有
F
y1，z1
0
，从三式中消去参
数 y1，z1 得所求旋转曲面方程为 F y， x2 z2 0 。
1． pqr 为直角三角形， p 60 ，求 pq 绕 pr 旋转所成曲面方程。
x 0
y 0
z 1
。设 M1 x1，y1，z1 是母线上的
任意点，因为旋转轴经过原点，则过
M
1
的纬圆方程为
z z1 x2 y2
0
z
2
x12
y12
z12
。由于 M1
x1，y1，z1
在母线上，所以
x1 a
y1 b 0
z1 1
。则
z1
z，
y1
，b
1x
a，z 代入消元，旋转曲面方程为
y y1 3
z z1 2
。且有
x12 y12
25，z1 0 ，再设
x x1 5
y y1 3
z z1 2
t ，那么 x1
x 5t，y1
y 3t， z1
z 2 t，代
入方程得
x 5t 2
z 2t 0
y
3t 2
25
，消去参数 t
得柱面方程：
x
5 2
z
2
y
3 2
z
2
z z1 1
t ，则 x1 x t ，y 1 y
，z 1 z
t
，
代入方程得
x
2
t2 x t2
y2
2y2
z
t
z
2
1
t2
2
，消去参数
t
得柱面方程：
x2
y2
z2
2xz
1
0
。
（5）准线方程为
x2
y2
25
，母线垂直于准线所在平面。
z 0
【解】母线的方向向量为 0，0，1 ，设 M1 x， 1 y，1 z1 是准线上的点，那么过 M1 的母线为
4 25
5
即 8x2 8y2 8z2 9xy 9xz 9yz 4x 4y 4z 12 0 。
（6）抛物线
x2
6z
0
，绕
z
轴旋转。
y 0
【解】旋转面方程为 x2 y2 6z 0 。
3．已知准线方程和母线方向，求柱面方程：
x2
（1）准线方程为
4
y2 9
z2
1，母线平行于
y
【解】以 r 为原点， rq 为 y 轴正向，建立空间直角坐标系， rpq 60 ，prq 90 ，记 pr a ，则
pq 3a 。在平面 yOz 中， pq 的方程为 y 3 a z0 a z 。 pq 绕 pr 旋转，即绕 z 轴旋转，
所以曲面方程为 x2 y2 3 z a2 00 z a 。
z，y1
3z
3，x1
2z
1 ，代入消元，旋
转曲面方程为 x2 y2 z2 2z 12 3z 32 z2 ，即 x2 y2 13z2 22z 10 0 。
《几何与代数导引》课后习题
（4）直线
x y
az b
，绕
z
轴旋转；
【解】直线的标准方程为
x a
yb 0
z 1
。z
轴的直线方程为
49
4
《几何与代数导引》课后习题
（2）准线方程为
x2
y2
z2
1，母线平行于
z
轴；
x y z 0
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 0
y y1 0
z z1 1
。且有
x12
y
2 1
z
12 1，x
1 y
1 z
10
，再设
x
0
x1
y y1 0
z z1 1
25 。
（4）准线方程为
x 2 2x
y2 2 2
z2 y2
1 z2
2
，母线方向为
1，0，1
；
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 1
y y1 0
z z1 1
。且有
x12
y12
z12
1，2
x12 2
y12
z12
2，再设 x x1 1
y y1 0
x 1 2
y3 3
z 1
。
z
轴的直线方程为
x 0
y 0
z 1
。设 M1 x1，y1，z1 是母线上
的任意点，因为旋转轴经过原点，则过
M1
的纬圆方程为
z z1 0
x2
y2
z2
x12 y12 z12
。由于
M1 x1，y1，z1 在母线上，所以
x1 1 2
y1 3 3
z1 1
。则 z1
《几何与代数导引》课后习题
第二章二次曲面与坐标变换
2．1 常见曲面及其方程【经验规律】当坐标平面上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的方程保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替
方程中的另一坐标。
【举例说明】设旋转曲面的母线为：F y，z
轴；
y 3
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 0
y y1 1
z z1 0
。且有
x12 4
y12 9
z12
1，y1
3 ，再设
x x1 0
y y1 1
z
z1 0
t
，那么
x1
x，3
y t，z1
z
，代入方程得
到： x2 32 z2 1，即 x2 z2 0 。
2．求下列旋转面的方程：
（1）圆
x
32
y2
4
，绕
x
轴旋转；
z 0
【解】旋转面方程为 x 32 y2 z2 4 。
（2）圆
x
32
y2
4
，绕
y
轴旋转；
z 0
2
【解】旋转面方程为 x2 z2 3 y2 4 。
（3）直线
x y
2z 3z
1 3
，绕
z
轴旋转；
【解】直线的标准方程为
x2 y2 z2 az2 b2 z2 ，即 x2 y2 az2 b2 0 。
（5）直线
2x y 2
y
z
0
，绕直线
l
:
x
y
z
旋转；
【解】直线的标准方程为
x 1
y2 2
z2 2
。由于旋转轴通过原点，设 M1 x1，y1，z1 是母线上的任意点Βιβλιοθήκη ，则过M1
的
纬
圆
方
程为
x
x
2
x1