(仅供参考)几何与代数第2章习题答案

z z1 1
t ，则 x1 x t ，y 1 y
，z 1 z
t
，
代入方程得
x
2
t2 x t2
y2
2y2
z
t
z
2
1
t2
2
，消去参数
t
得柱面方程：
x2
y2
z2
2xz
1
0
。
（5）准线方程为
x2
y2
25
，母线垂直于准线所在平面。
z 0
【 解 】 母 线 的 方 向 向 量 为 0，0，1 ， 设 M1 x， 1 y，1 z1 是 准 线 上 的 点 ， 那 么 过 M1 的 母 线 为
25 。
（4）准线方程为
x 2 2x
y2 2 2
z2 y2
1 z2
2
，母线方向为
1，0，1
；
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 1
y y1 0Leabharlann Baidu
z z1 1
。且有
x12
y12
z12
1，2
x12 2
y12
z12
2，再设 x x1 1
y y1 0
x 0
0
，旋转轴为
y
轴
x 0
y 1
z 0
，如果
M1 0，y1，z1 为
母线
上的任意点，那么过
M1
的纬圆为
y y1 0
x
2
y2
z2
y12
z12
，且有
F
y1，z1
0
，从三式中消去参
数 y1，z1 得所求旋转曲面方程为 F y， x2 z2 0 。
1． pqr 为直角三角形， p 60 ，求 pq 绕 pr 旋转所成曲面方程。
x 1 2
y3 3
z 1
。
z
轴的直线方程为
x 0
y 0
z 1
。设 M1 x1，y1，z1 是母线上
的任意点，因为旋转轴经过原点，则过
M1
的纬圆方程为
z z1 0
x2
y2
z2
x12 y12 z12
。由于
M1 x1，y1，z1 在母线上，所以
x1 1 2
y1 3 3
z1 1
。则 z1
《几何与代数导引》课后习题
第二章 二次曲面与坐标变换
2．1 常见曲面及其方程 【经验规律】当坐标平面上的曲线 绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方 程，只要将曲线 在坐标面里的方程保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替
方程中的另一坐标。
【举例说明】设旋转曲面的母线为 ：F y，z
t ，那么 x1 x，y1 y，z1 z t ，代
入方程得
x2 y2 x y
z z t
t2
0
1
，消去参数
t
得柱面方程：
2x2
2
y2
2xy
1。
（3）准线方程为
x2
y2
25
，母线方向为 5，3，2
；
z 0
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 5
49
4
《几何与代数导引》课后习题
（2）准线方程为
x2
y2
z2
1，母线平行于
z
轴；
x y z 0
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 0
y y1 0
z z1 1
。且有
x12
y
2 1
z
12 1，x
1 y
1 z
10
，再设
x
0
x1
y y1 0
z z1 1
轴；
y 3
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 0
y y1 1
z z1 0
。且有
x12 4
y12 9
z12
1，y1
3 ，再设
x x1 0
y y1 1
z
z1 0
t
，那么
x1
x，3
y t，z1
z
，代入方程得
到： x2 32 z2 1，即 x2 z2 0 。
y y1 3
z z1 2
。且有
x12 y12
25，z1 0 ，再设
x x1 5
y y1 3
z z1 2
t ，那么 x1
x 5t，y1
y 3t， z1
z 2 t，代
入方程得
x 5t 2
z 2t 0
y
3t 2
25
，消去参数 t
得柱面方程：
x
5 2
z
2
y
3 2
z
2
z，y1
3z
3，x1
2z
1 ，代入消元，旋
转曲面方程为 x2 y2 z2 2z 12 3z 32 z2 ，即 x2 y2 13z2 22z 10 0 。
《几何与代数导引》课后习题
（4）直线
x y
az b
，绕
z
轴旋转；
【解】直线的标准方程为
x a
yb 0
z 1
。z
轴的直线方程为
y2
z
y
2
y1
x1 2
z
y12
z1
z1 2
0
。由于 M1 x1， y1， z1 在母线上，所以
x1 1
y1 2 2
z1 2 2
。则
x1
z1
2
2
，y1
z1
2 x y z 1
5
，代入消元，旋转曲面方程为
x2 y2 z2 9 4 x y z 12 2 x y z 1 1。
2．求下列旋转面的方程：
（1）圆
x
32
y2
4
，绕
x
轴旋转；
z 0
【解】旋转面方程为 x 32 y2 z2 4 。
（2）圆
x
32
y2
4
，绕
y
轴旋转；
z 0
2
【解】旋转面方程为 x2 z2 3 y2 4 。
（3）直线
x y
2z 3z
1 3
，绕
z
轴旋转；
【解】直线的标准方程为
4 25
5
即 8x2 8y2 8z2 9xy 9xz 9yz 4x 4y 4z 12 0 。
（6）抛物线
x2
6z
0
，绕
z
轴旋转。
y 0
【解】旋转面方程为 x2 y2 6z 0 。
3．已知准线方程和母线方向，求柱面方程：
x2
（1）准线方程为
4
y2 9
z2
1，母线平行于
y
x2 y2 z2 az2 b2 z2 ，即 x2 y2 az2 b2 0 。
（5）直线
2x y 2
y
z
0
，绕直线
l
:
x
y
z
旋转；
【解】直线的标准方程为
x 1
y2 2
z2 2
。由于旋转轴通过原点，设 M1 x1，y1，z1 是母线上的任意
点
，则
过
M1
的
纬
圆
方
程为
x
x
2
x1
x 0
y 0
z 1
。设 M1 x1，y1，z1 是母线上的
任意点，因为旋转轴经过原点，则过
M
1
的纬圆方程为
z z1 x2 y2
0
z
2
x12
y12
z12
。由于 M1
x1，y1，z1
在母线上，所以
x1 a
y1 b 0
z1 1
。则
z1
z，
y1
，b
1x
a，z 代 入 消 元 ， 旋 转 曲 面 方 程 为
【解】以 r 为原点， rq 为 y 轴正向，建立空间直角坐标系， rpq 60 ，prq 90 ，记 pr a ，则
pq 3a 。在平面 yOz 中， pq 的方程为 y 3 a z0 a z 。 pq 绕 pr 旋转，即绕 z 轴旋转，
所以曲面方程为 x2 y2 3 z a2 00 z a 。