格林公式

一、格林公式及其应用
1.区域连通性的分类 区域连通性的分类 为平面区域, 设D为平面区域 如果 内任一闭曲线所围 为平面区域 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 成的部分都属于 则称 为单连通区域 否 则称为复连通区域 则称为复连通区域. 复连通区域
D D
有洞
单连通区域
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3. 简单应用
(1) 计算平面区域面积 ∂Q ∂P 格林公式: 格林公式 ∫∫ ( − )dxdy = ∫L Pdx + Qdy ∂y D ∂x 取 P = − y, Q = x, 得
2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy − ydx
1 闭区域D的面积 闭区域 的面积 A = ∫ xdy − ydx 2 L
4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 如果在区域G内, ∀L1 , L2 , 有
1
y
L 1
⋅B
L2
G
∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy o
2
A
⋅
x
则称曲线积分
∫
Pdx + Qdy L
与路径无关, 否则与路径有关. 在G内与路径无关, 否则与路径有关.
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
( L1, L2 , L3对D来说 为正方向 )
在AB与BA上积分抵消 与 上积分抵消
A
L3
D3
D2
L2
B
D1
L1
L
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格林公式的实质: 格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与积分 揭示了平面闭区域上二重积分与积分 二重积分 区域边界上的曲线积分之间的联系. 区域边界上的曲线积分之间的联系. 曲线积分之间的联系
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(1) 当 (0, 0) ∉ D 时,由格林公式 由格林公式 L xdy − ydx D ∫ L x2 + y2 = 0 x o (2) 当 (0,0) ∈ D 时, 2 2 2 作位于D内圆周 作位于 内圆周 l : x + y = r 逆时针方向 y L 记 D1由L和 l 所围成 和 所围成,
第九节 各种积分间的关系
一、格林（Green)公式及其应用 格林（ 公式及其应用
第三节） （第十章 第三节）
二、高斯(Gauss)公式 高斯 公式
格林 （Green.George） 简介 磨坊工数学家 ）
格林 （1793—1841）十八世纪英国数学家 1793 1841） 1841
8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅 岁上学， 岁辍学。 力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表 在父亲的磨坊一边做工，一边自学。 35岁时发表 了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 了他的第一篇也是最重要的论文“ 论中的应用” 随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多， 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却 包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。 包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。 19世纪数学物理发展的宝贵思想
7
证明:(1)特殊情形 证明:(1)特殊情形 :(1) 设区域D既是 既是X-型 d 设区域 既是 型 x = ψ ( y ) 又是Y-型, 即平行于 又是 型 A 坐标轴的直线和 L c 至多交于两点. 至多交于两点 o a
1
E
D
B
x = ψ 2 ( y) C y = ϕ1 ( x) x b
d ψ 2 ( y ) ∂Q ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ 1 ( y ) ∂x dx 证∫∫ ∂x dxdy = ∫ LQ( x, y)dy D D
L
D
∫
L
Pdx + Qdy
格林公式
其中L取正向.
?4
y
L
D
y
L1
D
L2
o
x
o
L由L1与L2组成
x
L正向：逆时针 正
规 边界曲线L的正向 当观察者沿边界 边界曲线 的正向: 的正向 定 行走时,区域 总在他的左边. 行走时,区域D总在他的左边 总在他的左边.
5
注： 1.格林公式是牛顿 莱布尼兹公式的推广. 格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广 格林公式是牛顿 莱布尼兹公式的推广
AO : y = 0,
0
y
D
= −∫∫ dxdy −∫ ( −x) dx D 1 π 1 o =− −
8 2
23
L
Ax
注:
求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算. 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算. 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线, 使其成为封闭曲线，利用格林公式后， 使其成为封闭曲线，利用格林公式后， 再减去辅助线上的曲线积分. 再减去辅助线上的曲线积分.
y
应用格林公式,得 应用格林公式 得 ∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = L+∫−l Pdx + Qdy D1 ( )
18
l
o
D1
r
x
∂Q ∂P 0 = ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫ Pdx + Qdy= ∫ − ∫ Pdx + Qdy D1 L+( − l ) L l
∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = D
y
∫
L
Pdx + Qdy
y = ϕ 2 ( x)
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
x = a cos θ 0 例 3 椭 圆 L： ， ≤ θ ≤ 2π y = b sin θ 所围面积. 1 由求面积的公式： 解 由求面积的公式：A = ∫L xdy − ydx 2
1 2π 2 2 = ∫ (abcos θ + absin θ )dθ 2 0
= π ab
21ຫໍສະໝຸດ Baidu
例4 计算 ∫ e x sin y − x − y dx + e x cos y − 1 dy
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xdy − ydx ∫L x 2 + y 2
所围成的闭区域为D, 解 记L所围成的闭区域为 所围成的闭区域为 x −y , , Q= 2 令P = 2 2 2 x +y x +y 则当 x + y ≠ 0 时, 有
2 2
y −x ∂Q ∂P = 2 = 2 2 ∂x ( x + y ) ∂y
2 2
19
(2) 计算平面区域面积
∂Q ∂P 格林公式: 格林公式 ∫∫ ( − )dxdy = ∫L Pdx + Qdy ∂y D ∂x
取 P = − y, Q = x, 得
2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy − ydx
D
1 闭区域D的面积 闭区域 的面积 A = ∫ xdy − ydx 2 L
20
∫
b
a
f ( x )dx = F (b) − F (a )
2.若边界 是反方向，则 若边界L是反方向 若边界 是反方向，
∂Q ∂P )dxdy = − ∫∫ ( − ∂x ∂y D
∫
L
Pdx + Qdy
3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 区域是复连通区域时，格林公式也成立， 区域是复连通区域时 此时边界必须是区域的整个边界. 此时边界必须是区域的整个边界
= ∫L Q ( x , y )dy
∂P 同理可证 − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D ∂y
8
x
∂Q ∂P 两式相加得 ∫∫ ( − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy L ∂x ∂y D
证明(2) 证明(2) 若区域D由分段光滑 若区域 由分段光滑 分成三个既是X将D分成三个既是 分成三个既是
12
D
x = a cos θ 0 ， ≤ θ ≤ 2π 例 1 椭 圆 L： y = b sin θ 所围面积. 1 由求面积的公式： 解 由求面积的公式：A = ∫L xdy − ydx 2
1 2π 2 2 = ∫ (abcos θ + absin θ )dθ 2 0
= π ab
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(2) 简化曲线积分的计算
例 2 设 L是 一 条 分 段 光 滑 的 闭 曲 线 ，
证明
∫
L
2 xydx + x dy = 0.
2
14
证明
∫
L
2 xydx + x dy = 0.
2
证: 因 P = 2xy, Q = x ,
2
则
利用格林公式
∂ Q ∂P ( )dxdy = − ∫∫ ∂x ∂y D
xdy − ydx xdy − ydx 即∫ −∫ =0 2 2 2 2 L x + y l x +y
y
L
D1
l xdy − ydx xdy − ydx x o r ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2 2 2 2 2 (其 中 l 的 方 向 2π r cos θ + r sin θ 取逆时针方向) =∫ dθ 2 0 r 注意格林公式的条件) (注意格林公式的条件) = 2π .
3
复连通区域
2.格林公式 格林公式
定理1 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线 围成, 由分段光滑的曲线L围成 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成
二重积分与其区域边界上 的曲线积分之间的联系
函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在D上有一阶连续
偏导数，则有 ∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = D
x x
−∫ (e sin y − x − y)dx + (e cos y − 1)dy
x x AO
原式 = ∫ L+ AO(e sin y − x − y)dx + (e cos y −1)dy
x x
−∫ (e sin y − x − y)dx + (e cos y − 1)dy
x x AO
∂Q ∂P x x = e cos y , = e cos y − 1 ∂x ∂y
D3
D2
的闭曲线围成.如图 的闭曲线围成 如图, 如图 型又是Y-型的区域 型又是 型的区域 D1 , D2 , D3 , 则
D1
D
L
∂Q ∂P ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = D +∫∫+ D ( ∂x − ∂y )dxdy D D
1 2 3
9
∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P = ∫∫ ( − )dxdy + ∫∫ ( − )dxdy + ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y D1 D2 D3
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
=∫
CBE
d
d
Q( x, y)dy − ∫
y
CAE
Q( x, y)dy
d x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)
=∫
CBE
Q( x , y )dy + ∫
EAC
Q( x , y )dy
A c o C
其中L：x + y = x ( y ≥ 0)从O ( 0,0 ) 到A ( 1,0 ) 的上半圆周. y 为了使用格林公式, 解 为了使用格林公式 L 添加辅助线段 AO, D o Ax 它与L所围区域为 所围区域为D 它与 所围区域为 , 则
2 2
L+ AO
L
(
)
(
)
原式 = ∫
(e sin y − x − y)dx + (e cos y − 1)dy
L
∫
D
L
Pdx + Qdy
得 ∫ 2xy dx + x2 d y = ±∫∫ 0dxd y= 0
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例3 计算
xdy − ydx ∫L x 2 + y 2
其中L为一条无重点 分段光滑且不经过 其中 为一条无重点,分段光滑且不经过 为一条无重点 原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方 原点的连续闭曲线 的方向为逆时针方 向.
25
说明: 说明: 积分与路径无关时, 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
∫
AB
Pdx + Qdy = ∫ A Pdx + Qdy
B
26
定理2 是单连通域, 定理 设D是单连通域 函数 是单连通域 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 具有一阶连续偏导数 则以下四个条件等价: 在D内 内 (1)沿D 中任意光滑闭曲线 有 沿 中任意光滑闭曲线L,有
∫
L
Pdx + Qdy = 0.
(2)对D中任一分段光滑曲线 曲线积分 对 中任一分段光滑曲线 中任一分段光滑曲线L,曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. ∫ Pdx + Qdy 与路径无关 只与起止点有关
L
(3) 即
在D内是某一函数 内是某一函数
的全微分, 的全微分,
du( x, y) = Pdx + Qd y