第9节 函数与数学模型

第9节函数与数学模型

考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义

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知识梳理

1.指数、对数、幂函数模型性质比较

函数

性质

y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)

上的增减性

单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化随x的增大逐渐表

现为与y轴平行

随x的增大逐渐表

现为与x轴平行

随n值变化

而各有不同

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

与指数函数相关的模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()

(3)不存在x0，使a x0

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()

解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×9

10＝99(元).

∴每件赔1元，(1)错.

(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.

(3)中，如a＝x0＝1

2，n＝

1

4，不等式成立，因此(3)错.

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2.(老教材必修1P113探索与研究改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y 的几组数据，如下表：

x 0.500.99 2.01 3.98

y －0.990.010.98 2.00

则对x，y

A.y＝2x

B.y＝x2－1

C.y＝2x－2

D.y＝log2x

解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.

答案 D

3.(新教材必修第二册P44A3改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大

约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8

B.9

C.10

D.11

解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n

，由⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12n

<11 000，得n ≥10.

所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. 答案 C

4.(2020·临沂一中月考)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f (x )>g (x )>h (x ) B.g (x )>f (x )>h (x ) C.g (x )>h (x )>f (x )

D.f (x )>h (x )>g (x )

解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g (x )>f (x )>h (x ). 答案 B

5.(多填题)(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________. 解析 把z ＝81代入方程组，化简得⎩⎨⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，

解得x ＝8，y ＝11. 答案 8 11

6.(多填题)(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/

盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.

解析①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.

答案①130②15

考点一利用函数的图象刻画实际问题

【例1】(2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是()

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案 A

规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化