例析函数最值题的几种解法

例析函数最值题的几种解法

函数的最值求解是函数中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用.其涉及的知识面广，解题技巧性强，方法也因题而异.本文就常用的几种方法例析如下：

一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值.

例1 求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值 解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==, 时，min y =1.

例2 求函数y =2

1log (－x sin ＋

x 12sin +)的最值

解：由解析式及正弦函数的有界性得：当x sin =1时，max y =2

1log （

2

－1）；当x sin =－1时，min y =2

1log （

2＋1）.

二、判别式法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于x 的二次型：)()()(y c x y b x y a 2++=0.由于x 为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值.但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）.

例3 求函数y =2

2122+-+-x x x x 的最值

解：∵分母

1

)1(2+-x ≠0

,∴定义域为R .原式化为

)12()12()1(2-+---y x y x y =0.当y ≠1时，此二次方程有实根.∴△

=)12)(1(4)12(2----y y y =)32)(12(+--y y ≥0，即21≤y ≤23；当y =1时，x =1，即x =1时，y =1∈[21,23].∴max y = 2

3，min y =21. 例4 求函数y =

4

x 4132

+×－2x 的最值

解：由y ＋2x

=

4

x 4132

+×平方整理得：2x 8－3yx 16+－0y 162=.由于x

为实数，∴△=2)16(y -－)163(842y -⨯≥0，故y ≥4

2或y ≤－

4

2.当函数

在x ＞0时，y =

4

x 4132

+×－2

x ＞

4

x 23×－2x =

2

1

3-x ＞0；在x ≤0时，显然有y ＞0，∴y ≤－4

2不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中

采用了两边平方后而引起值域扩大的部分，应舍去.∴min y =

4

2.

三、单调性法： 如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界无下界或只有下界无上界），可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域，从而求得函数的最值.

例5 求函数)(x f =︱2x －1︱－︱x －1︱的最值

解：去掉绝对值符号得：)(x f =－x (0≤x ≤21)或)(x f =x 3－2(21＜x ≤1)或)(x f =x (1＜x ≤2),由此可知：在0≤x ≤21

时，)(x f 为减函数且－21≤y ≤0；在21＜x ≤1时，)(x f 为增函数且－21＜y ≤1；在1＜x ≤

2 时，)(x f 为增函数且1＜y ≤2.∴y

max

= 2，min y = －21

.

例6 求函数)(x f =︱x －3︱＋︱x －4︱＋︱x －5︱的最值

解：由已知不等式得：

)(x f =－12x 3+(x ＜3＝ 或)(x f =－x ＋6(3≤x ＜4)或)(x f =x －2(4≤x ＜5)或)(x f =3x －12(x ≥5

)，由此可知：在x ＜3时，)(x f 为减函数且y ＞3；在3≤x ＜4 时，)(x f 为减函数且2＜

y ≤3；在4≤x ＜5 时，)(x f 为增函数且2≤y ＜3；在x ≥5时，)(x f 为

减函数且y ≥3；综上可得：min y =f (4)=2.

四、均值不等式法：若x 、y ∈R +，x ＋y =s ，x y =p .当p 是定值，则当且仅当x =y 时，s 有最小值；当s 是定值，则当且仅当x =y 时，p 有最大值.

例7 求函数)(x f =1

1

22++

+x x x 的最值 解：定义域为x ≠－1，∵

)

(x f =

1

1)1(2++

+x x －

1=

()1111112212

-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++++x x x ≥233

211

11)1(2+⨯+⨯

+x x x －1=2

3×

3

2

－1，∴

当1

1

)1(22+=

+x x ，即=x 321

－1≠－1时，有min y =3

22

3－1. 注：若无x 使等号成立，则此法无效，应改用其它方法.

例8 求函数y =

4

x 5x 22++的最值

解：定义域为R ，虽然y =

4

x 14x 2

2++

+≥2，但

4

x 14x 2

2+=

+无解，

∴等号不成立，这说明y ＞2.可将原函数式配方得y =（424x +－

4

24

x 1

+）＋2，视2x 为未知元，对于2x 、42

4x +递增，4

24

x 1+递减，－4

24

x 1+递增.∴424x +－4

24

x 1+递增，由于424x +－4

24

x 1+＞0，∴（424x +－

4

24

x 1

+）也递增.而2x ≥0，∴2x ≥0时有最小值且无最大值.故当 x =0

时，min y = 2

5. 五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换.如：2x ＋

2y =2a （a ＞0

），可令θθcos ,sin ==y x ；2x ＋2y ≤2a （a ＞0），可令

,cos ,sin θλθλ==y x （a 0≤≤λ）； 2x －2y =1，可令θθtg y x ==,sec 等.

例9 求函数y =x x -+1的最值

解：设θ2x sin =，则

θ

cos 1=-x ，∴)

sin(cos sin 4

2y π

θθθ+

±=+=

∈[－

22,]∵x ≥0

，∴取x 最小值0时，1y =.故1y =min ，2y =max .

例10 设 x 、y 都是正数，且x 6y 2x 322=+，求22y x +的最值 解：将方程变形为2

)1(-x ＋

2

3y 2

1=.设（y x ,）是此椭圆上的点，令