10-2对坐标的曲线积分19245

练习题答案
一、1、坐标；
2、-1；
3、起,点；
4、 PdxQdy Rdz
(Pcos Qcos Rcos )ds.
二、1、 a3; 2
2、2；
3、1 ；
4、0.
2
三、F 0,0,mg,W mg(z2 z1).
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
n
P (x ,y,z)d x l i0im 1P (i,i, i) x i.
n
Q (x ,y,z)d y l i0im 1Q ( i, i, i) yi.
n
R (x ,y,z)d zl i0im 1R ( i, i, i) zi.
思考题
当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定 之后（例如L：x acost，y asint ， t[0,2]，a 是正常数），试问如何表示 L 的方 向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答
曲线方向由参数的变化方向而定.
例 如 L ： x a c t ， o y a s s t ， i t [ n 0 , 2 ] 中
L
a
(2 )L :xx (y) y起c 点 ，为 终 d. 点为
则 P Q d d x { d P [ x ( y y )y ] x , ( y ) Q [ x ( y )y ] , d . }
L
c
x(t) (3)推广 : y(t), t起点 ,终点 .
z(t)
Pdx Qdy Rdz
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
y)dy ,其中L
为圆周
x2 y2 a2 (按逆时针方向饶行)；
3、dxdyyd,z其中为有向闭折线ABC,D这里
的A, B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；
4、 dxdy,其中ABCD是A以A(1,0)，B(0,1), x ABCDA y C(1,0),D(0,1)为顶点的正方形正向边界线.
其中cos
2(t)(t ) 2(t),cos
(t) , 2(t)2(t)
（可以推广到空间曲线上 ）
上点 (x, y,z)处的切线向量 为的 ,,方 , 向
则 P Q d R x d ( P d c y z o Q c s o R c s ) d o 可其 用向A 量 { 表P 中 示,Q ,R } ， A tt d s{ A c d,c r o , A c o td ,s} s o s,s
当 t 从 0 变 到 2 时 ， L 取 逆 时 针 方 向 ;
反 之 当 t 从 2 变 到 0 时 ， L 取 顺 时 针 方 向 .
练习题
一、填空题: 1、 对 ______________的 曲 线 积 分 与 曲 线 的 方 向 有 关 ；
2 、 设 LP ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0 , 则
限
对
应
于L
的
____点
,上
限
对 应 于L
的 ____点 ；
4、 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 是 _______________________
_______________________________.
二、计算下列对坐标的曲线积分:
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y2 a2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
(1 )L :yy(x ) x 起a 点 ，为 终 b . 点为
则 P Q d x b { d P [ x ,y y ( x ) Q ] [ x ,y ( x )y ( ] x ) d . }x
对 弧 长 的 积 分 , 其中 L 为 : 1 、 在 xoy 面 内 沿 直 线 从 点 ( 0 , 0 ) 到 点 ( 1 , 1 ) ； 2、 沿 抛 物 线 y x 2从 点 (0,0)到 点 (1,1)； 3、 沿 上 半 圆 周 x 2 y 2 2 x 从 点 (0,0)到 点 (1,1).
(1co2s)d(co)s
4 3
a
3
.
( 2 ) L : y 0 ,
x从 a变 到 a，
原式
a
0dx0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同.
例3 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1)抛物线y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段;弧
(2) 化为y的 对积 . 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx 1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
x y2 B(1,1) A(1,0)
B(1,1)
A(1,0)
在OA上, y0,x从 0变1到 ,
2 xy x 2 d d x y 1 (2 x 0 x 20 )dx
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
A(1,1)
2
13
x2dx
4.
0
5
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
(2)抛物线x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段;弧 (3)有向折线 OAB，这里O, A,B依次是(点0,0)
(1,0),(1,1).
解 (1) 化为x对 的积. 分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0 4 1 x3dx 1. 0
y x2
B(1,1)
A(1,0)
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为xy
(t), (t),
当参数t单调地由变
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
5.性质
(1)如果 L 分 把 L 1 成 和 L 2,则
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
10-2对坐标的曲线积分19245
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 线 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
3.组合形式
LP(x,y)dxLQ(x,y)dy LP(x, y)dxQ(x, y)dyLFd.s
其 F P i Q j ,中 d d i s d j . x y
三 、 设 z 轴 与 重 力 的 方 向 一 致 , 求 质 量 为m 的 质 点 从 位 置 (x1 , y1 , z1)沿 直 线 移 到 (x2 , y2 , z2 )时 重 力 所 作 的功.
四 、 把 对 坐 标 的 曲 线 积 分 L P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 化 成
上点 (x,y,z)处的单位切向 d r t d { d s ,d , x d } y 有z 向曲线元； A t为A 在 向 t 上 向 量的 .量投影
例1 计算 xy,d 其 xL 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧B(1,1)
解 (1)化为对 x的定积分y， x.
例2 计算y2dx,其中L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
从0变到 ，
原式 a2si2n ( asi)n d B(a,0) 0
A(a,0)
பைடு நூலகம்
a3 0
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L
____________；
L P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
3 、 在 公 式 L P ( x , y )dx Q ( x , y ) dy
{ P [ ( t ) , ( t )] ( t ) Q [ ( t ) , ( t )] ( t )} dt 中 , 下
{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[(t), (t),(t)] (t)
R[(t), (t),(t)](t)}dt
(4) 两类曲线积分之间的联系：
设有向平面L曲 ：线 xy弧 ((tt))为 ,
L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L d ( P c y o Q c s o ) ds s
OA
0
B(1,1)
0.
在AB上, x1,y从 0变1到 ,
A(1,0)
2 xy x d 2 dx y1 (2 y0 1 )dy 1.
AB
0
原 式 011.
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同.
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系