费马大定理的初等巧妙证明(完全版)

费马大定理的初等巧妙证明(完全版)

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费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。

证明： 当n=2时，有 222y x z +=

∴ ))((222y z y z y z x +-=-= （1）

设 22)(m y z =- 则 22m y z += 代入（1）得

222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-=

∴ ml x 2= 22m l y -= 22m l z +=

当n=3时，有 333y x z +=

∴ ))((2

2333y zy z y z y z x ++-=-= （2）

设 323)(m y z =- 则 323m y z +=代入（2）得

］［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +⨯+=)33(36332233m y m y m ++=

设 363322)33(l m y m y =++ （3）

则 ml x 3= （4）

323m y z += （5）

若z,y 的公约数为k,即 (z,y)=k ，k>1时，方程333y z x -=两边可以除以3k ，下面

分析k=1 即（z,y ）=1 , 方程333y z x -=的正整数解

因为（z,y ）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l 为正整数时，x,y,z 可能有正整数解，由（3）得

)33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+ (6)

∵ y, m, l 都取正整数，

∴)3(32m y y +< )33()3(4

2222m l m l m l ++<-

∴ )33(4222m l m l y ++≠

∴ y 没有形如y )33(4222m l m l ++=的正整数解。

又∵（6）式左边分解为y 和y 的（3－2）次式，右边分解为)3(2m l -和l 的（3－1）次式，且y, m, l 都取正整数，如果y=)3(2m l -,则)33(3422232m l m l m y ++<+，如果)33(3422232m l m l m y ++=+，则y>)3(2m l -.

∴)33(3)3(4

222322m l m l m y m l y ++=+-=和不能同时成立

∴ y 没有形如)3(2m l y -=的正整数解

若 )3(2m l -=ab , )33(4222m l m l ++=cd (a,b,c,d 为正整数)可得相应方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=+-==bcd m y m l a y 32233或⎪⎩⎪⎨⎧=+-==abd m y m l c y 32233或⎪⎩⎪⎨⎧=+-==bd m y m l ac y 32233这些方程组里的m, l 没有正整数解，若有正整数解，则与y 没有形如)3(2m l y -=或)33(4222m l m l y ++=的正整数解矛盾。

又 ∵ )3(2m l y -=在m, l 取正整数的条件下，y 可取到任意正整数

∴ y 没有正整数解。

∴ 当n=3时，方程333y x z +=无正整数解。

当n>3时，n n n y x z +=

∴ ))((1221----++++-=-=n n n n n n n y zy y z z

y z y z x （7） 令 n n m n y z 1)(-=- 则 n n m n y z 1-+=代入（7）得

))((1221----++++-=-=n n n n n n n y zy y z z y z y z x

］［（))()()12121111--------+++++++=n n n n n n n n n n n n y y m n y y m n y m n y m n

++++++=------211112121111)(n n n n n n n n y m n

c c c c ny m n ［ +++++++---- 32)1(222232221)(n n n n n y m n

c c c c ］n n n n n n n n n n n n n n m n c y m n c c )1()1)(1(11

)2()1)(2(2221)(------------+++ ++++++=------211111212111)(n n n n n n n n y m n

c c c c y m n ［

+++++++----- 321)1(222232221)(n n n n n y m n

c c c c ］n n n n n n n n n n n n n n m n

c y m n c c )1(1)1)(1(11)2(1)1)(2(2221)(--------------+++ 设++++++------211111212111)(n n n n n n y m n

c c c c y ［ +++++++----- 321)1(222232221)(n n n n n y m n

c c c c ］n n n n n n n n n n n n n n m n

c y m n c c )1(1)1)(1(11)2(1)1)(2(2221)(--------------+++ n l = （8）

则 ml x 3= （9）

n n m n y z 1-+= （10）

若z,y 的公约数为k,即 (z,y)=k ，k>1时，方程n x n y z x -=两边可以除以n k ，下面分

析k=1 即（z,y ）=1 , 方程n x n y z x -=的正整数解

因为（z,y ）=1，分析（7），（8），（9），（10）式，只有m,l 为正整数时，x,y,z 可能有正整数解，由（8）得

++++++--------121111

12121111)(n n n n n n y m n c c c c y y ［ +++++++------ 1321)1(222232221)(n n n n n y m n

c c c c ］n n n n n n n n m n c c )2(1)1)(2(2221)(--------++

))(()1)(1()2)(1()1(2)2(23122112-------------++++-=n n n n n n n n n n n n n m n m n l m n l l m n l (11) 简记为 y f(2-n y )=)3(12---n n m l F(1-n l )

∵ y, m, l 都取正整数。

∴y< f(2-n y ) )3(12---n n m l

∴ )()1)(1()2)(1()1(2)2(231221-----------++++≠n n n n n n n n n n n m n m n l m n l l y = F(1-n l )

∴ y 没有形如y= F(1-n l )的正整数解。

又∵（11）式左边分解为y 和y 的（n －2）次式，右边分解为)(12---n n m n

l 和l 的（n －1）次式，且y, m, l 都取正整数，如果y=)(12---n n m n

l ,则f(2-n y ))3(12---n n m l