热动工程力学第11章

第11章教学方案——组合变形强度计算

第11章 组合变形强度计算

11.1 组合变形概述

11.1.1 组合变形的概念和分类

前面各章分别讨论了杆件的轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲四种基本变形。而工程实际中的杆件，在使用时可能同时产生几种基本变形。例如，图11.1所示压力机机架工作时受到F 力作用，立柱在F 力作用下横截面存在轴力和弯矩，将产生拉伸和弯曲的变形组合；图11.2所示传动轴，电动机对传动轴施加力偶m 0，皮带轮紧边和松边张力分别为F T1和F T2，这些外力共同作用下轴将产生弯曲和扭转的变形组合。

组合变形：杆件同时产生两种或两种以上基本变形的受力情况称为组合变形。

组合变形分类：拉伸（压缩）与弯曲组合变形；

拉伸（压缩）与扭转组合；

弯曲与扭转组合；

拉伸（压缩）、扭转与弯曲组合；

由于杆件一般弯曲问题（称为斜弯曲）可认为是同时在两个方向发生平面弯曲，其分析方法与组合变形相同，也常将斜弯曲作为组合变形处理。

11.1.2 组合变形的研究方法

叠加原理：当组合变形杆件材料服从胡克定律、变形满足小变形条件时，在进行组合变形强度计算时，可以认为任一载荷作用所产生的应力都不受其他载荷的影响。则有如下结论：杆在几个载荷共同作用下所产生的应力，等于每一个载荷单独作用下所产生的应力的总和，这一结论称为叠加原理。

组合变形研究方法：先将载荷简化或分解为产生基本变形的几组载荷，然后分别计算各基本变形下的应力，最后将所得结果进行叠加，得到总的应力。也可以首先用截面法确定杆件各横截面的内力形式、大小和危险截面位置，然后计算每一内力对应的应力，最后叠加得到总的应力。

11.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合

11.3 产生拉（压）弯组合变形的两种受力情况

拉伸（压缩）与弯曲的组合变形是工程实际中最常见的组合变形情况。如果杆件除了在通过其

轴线的纵向平面内受到力偶或垂直于轴线的横向外力外，还受到轴向拉（压）力作用，杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形，简称拉（压）弯组合变形。

产生拉（压）弯组合变形两种受力情况：

（1）杆件在通过其轴线的纵向平面内受到不垂直于轴线的载荷作用。将载荷分解为垂直轴线的横向力和平行于轴线的轴向力，横向力产生弯曲变形，轴向力产生拉压变形。图11.7所示简易吊车的横梁AB ，当吊车工作时，拉杆BC 对横梁作用一个沿BC 方向的外力，使横梁AB 产生压弯组合变形。

（2）杆件受到轴向外力作用，但外力的作用点不过截面形心，称为偏心拉压。图11.8所示厂房立柱，载荷F 2偏离立柱轴线，若将该力平移到轴线处，则产生附加的弯曲力偶矩，使立柱产生压弯组合变形。

11.3.2

当杆件产生拉（压）弯组合变形时，杆件横截面上同时作用轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。

根据外力情况画杆件的轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面及危险截面上的轴力F N 和弯矩M max 。

轴力F N 对应的正应力在横截面上均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时，产生压应力。其值为

A

F N N =σ 弯矩M max 对应的正应力沿横截面高度方向线性分布，相对对称轴一侧是拉应力，另一侧是压应力，其值为

y I M z

z =M σ 应用叠加法，将同一点的两个正应力代数相加，所得的应力就是该点的总应力。由于弯曲正应力的最大值出现在受弯方向的凹凸表面上，因此最大应力也应出现在此处。根据实际受力和截面形状，最大正应力有不同的情形。若横截面在弯曲方向有对称轴，则最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力相等，则有最大正应力

z

W M A F max N max

M N max +=+=σσσ （11-5） 强度条件与弯曲时相同，即 []σσ≤max

【例11-2】 图11.9（a ）所示起重支架，AB 梁由两根并排槽钢复合而成。已知：a =3m ，b =1m ，F =36kN ，AB 梁的材料许用应力[σ]=140MPa 。试选择槽钢型号。

解：（1）确定AB 梁的外力

分析AB 受力，画受力图如图11.9（b ）所示。列平衡方程

0)(30sin ,00=+-=∑b a F a F M C A

解得： F C =96kN

（2）作内力图，确定危险截面

根据AB 杆的外力，作杆的轴力图和弯矩图如图11.9（c ）和（d ）所示。从图中可以看到，在AC 段既存在弯矩又有轴力，是拉弯组合变形；CB 段是弯曲变形。显然C 截面处是危险截面，其内力为

kNm 36,kN 1.83max N ==M F

（3）确定危险点应力，强度计算

在C 截面的上下侧边缘有最大弯曲正应力，上侧为拉应力，下侧为压应力；拉伸正应力各点相同。显然叠加后C 截面上侧边缘各点正应力最大，是危险点。建立强度条件

[]σσ≤+=z

W M A F max N max 因为上式中A 和W z 都未知，故用试凑法计算。可先只考虑弯曲应力确定W z ，选择槽钢型号，再进行校核。由

[]63

max 101401036⨯=≤⨯=σz

z W W M 得 W z ≥257×10-6m 3=257cm 3

查型钢表，选二根18a 槽钢，W z =14.2×2cm 3=282.8cm 3，相应得横截面积A =25.92×2=51.38cm 2

，

校核强度

[]MPa 140MPa 143max N max ==+=σσ z

W M A F 最大应力没超过许用应力得5%，工程中许可，可以选用18a 槽钢。如果最大应力超过许用应力较多，则应重新选择型钢，并进行强度校核。

【例11-3】 图11.10（a ）所示悬臂钻床结构和受力。钻床立柱为空心铸铁管，管的外径D =140mm ，内、外径比d / D =0.75。铸铁的许用拉应力[σt ]=35MPa ，许用压应力[σc ]=90MPa ，F =15kN ，e =400mm 。校核立柱的强度。

解：（1）确定立柱横截面的内力

用假想截面沿m-m 将立柱截开，取上半部分研究，

如图11.10（b ）所示。由平衡条件可得横截面上的轴力和

弯矩分别为

kN 15N ==F F

kNm 6==Fe M

（2）确定最大应力，强度计算

立柱在偏心载荷F 作用下产生拉弯组合变形。在立柱

所有横截面上的轴力和弯矩都相等，各横截面的危险程度

相同。根据图11.10（b ）所示的轴力和弯矩的实际方向可

知，横截面上的左侧a 点承受最大压应力，右侧b 点承受

最大拉应力，其值分别为

MPa 38.3032

)

1(4)1(MPa 92.3432)1(4)1(4322N c max 4322N t max -=---=-==-+-=+=απαπσαπαπσD Fe D F W M A F D Fe D F W M A F z z 可见，[][]c c max t t max ,σσσσ ，满足强度条件，立柱的强度足够。

11.4 弯曲与扭转的组合

11.4.1 弯扭组合变形杆件的危险截面分析

机械中的传动轴、曲柄轴等零件除受扭转外，还经常伴随着弯曲变形，这种组合变形形式常称为弯扭组合，这是机械工程中最重要的一种组合变形形式。现以图11.11（a ）所示曲拐轴为例，说明弯扭组合变形的强度计算方法。

首先分析AB 轴的受力。在不改变AB 的内力和变形的前提下，将F 力等效平移到B 点，得到一个力F '和一个力偶M B ，如图11.11（b ）所示。其值分别为

F '=F ——使AB 杆产生弯曲变形；

M B =Fa ——使AB 杆产生扭转变形。

画出AB 杆的扭矩图和弯矩图，如图11.11（c ）和（d ）所示。可以看出，在AB 杆的固定端截面A 上有最大扭矩和最大弯矩，是危险截面，危险截面上的扭矩和弯矩分别为