人教高中数学全称量词与存在量词课文分析
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人教高中数学全称量词与存在量词课 文分析
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判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是特称量词； (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
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[解析] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于 360°”，故为全称命 题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．
A．∀n∈N,2n≤1 000
B．∀n∈N,2n>1 000
C．∃n∈N,2n≤1 000
D．∃n∈N,2n<1 000
解析：由于特称命题的否定是全称命题，因而綈 p 为∀n∈N,2n≤1 000.
答案：A
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2．下列命题中全称命题的个数是( )
1．用量词符号“∀”“∃”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式； (2)有一个实数 α，tan α 无意义； (3)对任意实数 x，都有 x3>x2. 解析：(1)∀x∈R，x 能写成小数形式． (2)∃α∈R，使 tan α 无意义． (3)∀x∈R，x3>x2.
人教高中数学全称量词与存在量词课 文分析
1．4 全称量词与存在量词
考纲定位
重难突破
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称 重点：全称命题和特称
量词与存在量词的意义． 命题真假的判定．
2.能正确对含有一个量词的命题进行否定． 难点：对含有一个量词
3.知道全称命题的否定是特称命题，特称命 的命题进行否定.
题的否定是全称命题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
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2．已知 a>0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax＋b＝0，则下列 四个命题中假命题的序号是________． ①∃x∈R，f(x)≤f(x0)； ②∃x∈R，f(x)≥f(x0)； ③∀x∈R，f(x)≤f(x0)； ④∀x∈R，f(x)≥f(x0)． 解析：由题意：x0＝－2ba为函数 f(x)图象的对称轴方程，所以 f(x0)为函数的最小 值，即对所有的实数 x，都有 f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的． 答案：③
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人教A版数学·选修2-1
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。 2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。 4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事” 5.美方发起贸易战，进行恫吓威胁， 不会给 中国发 展带来 困难和 影响， 只会更 加激发 中国人 民的勇 气、士 气与硬 气。 6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。 7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。 8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。 9. 弊端重重的人类中心主义亟须克服 自身认 识的偏 见，而 中华民 族的中 道智慧 是一个 可取的 办法。
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探究三 含有一个量词的命题的否定及应用 [典例 3] 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)p：所有的正方形都是菱形； (3)p：至少有一个实数 x0，使 x30＋1＝0.
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等价转化思想在恒成立问题中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使 得 f(x1)≥g(x2)，求实数 m 的取值范围． [解析] 因为 x1∈[－1,3]，所以 f(x1)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]， 使得 f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即(12)x2－m≤0，所以 m≥(12)x2，m≥(12)2， 即 m≥14.
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[解析] (1)对于选项 A， sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4≤ 2，∴此命题不成立； 对于选项 B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当 x>3 时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立； 对于选项 C，x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，∴x2＋x＝－1 对任意实数 x 都不成立， ∴此命题不成立； 对于选项 D，当 x∈π2，π时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选 B.
3．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于 0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④
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探究二 全称命题与特称命题的真假判断 [典例 2] 下列命题中，真命题是( ) A．∃x∈0，π2，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈π2，π，tan x>sin x
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探究一 全称命题与特称命题的判断 [典例 1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于 360°； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1； (4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
课时作业
[自主梳理]
一、全称量词与存在量词 1．全称量词和全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作 全称量词 ，并用符号“ ∀ ” 表示，含有 全称量词 的命题，叫作全称命题． 通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示．那么，全称命题“对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p(x) ，读作“对 M 中任意一个 x，都有 p(x)成立”．
人教高中数学全称量词ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在量词课 文分析
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3．若命题“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析：若命题为真，则对应方程 x2＋2ax＋2－a＝0 有解，即 Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 解得 a≥1 或 a≤－2. 答案：a≥1 或 a≤－2
是 全称命题 ．
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[双基自测] 1．(2016·高考浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 解析：由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否 定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2” 的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2”． 答案：D
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[解析] (1)綈 p：∃x0∈R，x20－x0＋14<0，假命题． 因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0 恒成立． (2)綈 p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
(3)綈 p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． 因为 x＝－1 时，x3＋1＝0.
二、全称命题与特称命题的否定 1．全称命题的否定 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论： 全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p： ∃x0∈M，綈 p(x0) ，全称命题的否
定是 特称命题 ．
2．特称命题的否定 一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x)，它的否定綈 p：∀x∈M，綈 p(x) ．特称命题的否定
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2．下列四个命题中的真命题为( )
A．∃x0∈Z,1<4x0<3 C．∀x∈R，x2－1＝0
B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析：x2＋x＋2＝x＋122＋74>0，
∴∀x∈R，x2＋x＋2>0 为真命题．
故应选 D. 答案：D
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3．已知定义在 R 上的函数 f(x)，写出命题“若对任意实数 x 都有 f(－x)＝f(x)， 则 f(x)为偶函数”的否定： _________________________________________________________________. 解析：所给命题是全称命题，其否定为特称命题． 答案：若存在实数 x0，使得 f(－x0)≠f(x0)，则 f(x)不是偶函数
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等
比数列；④三角形的内角和是 180°.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都 是 180°，故有三个全称命题”． 答案：D
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4．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数 a 的取值范围是________． 解析：因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0” 为真命题．因此 Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2 2≤a≤2 2. 答案：－2 2≤a≤2 2
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[感悟提高] 不等式恒成立求参数问题常用等价转化思想解决，一般等价转化为 函数的最值问题求解.
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[随堂训练] 1．已知命题 p：∃n∈N,2n>1 000，则綈 p 为( )
2．存在量词和特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 存在量词 ，并用符号 “ ∃ ”表示，含有 存在量词 的命题，叫作特称命题． 特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0) ， 读作“ 存在 M 中的一个 x0，使得 p(x0)成立 ”．
[答案] B
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判断全称命题与特称命题真假的方法 对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合 M 中的每个元素 x， 证明 p(x)成立；要判断它为假，只需在 M 中找到一个 x0，使 p(x0)不成立，即“∃ x0∈M，p(x0)不成立．” 对于特称命题“∃x0∈M，p(x0)”，要判断它为真，只需在 M 中找到 x0，使 p(x0) 成立，要判断它为假，需要判断“∀x∈M，p(x)不成立”．
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进行一个命题的否定的方法 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是 特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在 量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式， 再依据规则来写出命题的否定．
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判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是特称量词； (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
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[解析] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于 360°”，故为全称命 题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．
A．∀n∈N,2n≤1 000
B．∀n∈N,2n>1 000
C．∃n∈N,2n≤1 000
D．∃n∈N,2n<1 000
解析：由于特称命题的否定是全称命题，因而綈 p 为∀n∈N,2n≤1 000.
答案：A
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2．下列命题中全称命题的个数是( )
1．用量词符号“∀”“∃”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式； (2)有一个实数 α，tan α 无意义； (3)对任意实数 x，都有 x3>x2. 解析：(1)∀x∈R，x 能写成小数形式． (2)∃α∈R，使 tan α 无意义． (3)∀x∈R，x3>x2.
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1．4 全称量词与存在量词
考纲定位
重难突破
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称 重点：全称命题和特称
量词与存在量词的意义． 命题真假的判定．
2.能正确对含有一个量词的命题进行否定． 难点：对含有一个量词
3.知道全称命题的否定是特称命题，特称命 的命题进行否定.
题的否定是全称命题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
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2．已知 a>0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax＋b＝0，则下列 四个命题中假命题的序号是________． ①∃x∈R，f(x)≤f(x0)； ②∃x∈R，f(x)≥f(x0)； ③∀x∈R，f(x)≤f(x0)； ④∀x∈R，f(x)≥f(x0)． 解析：由题意：x0＝－2ba为函数 f(x)图象的对称轴方程，所以 f(x0)为函数的最小 值，即对所有的实数 x，都有 f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的． 答案：③
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。 2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。 4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事” 5.美方发起贸易战，进行恫吓威胁， 不会给 中国发 展带来 困难和 影响， 只会更 加激发 中国人 民的勇 气、士 气与硬 气。 6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。 7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。 8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。 9. 弊端重重的人类中心主义亟须克服 自身认 识的偏 见，而 中华民 族的中 道智慧 是一个 可取的 办法。
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探究三 含有一个量词的命题的否定及应用 [典例 3] 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)p：所有的正方形都是菱形； (3)p：至少有一个实数 x0，使 x30＋1＝0.
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等价转化思想在恒成立问题中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使 得 f(x1)≥g(x2)，求实数 m 的取值范围． [解析] 因为 x1∈[－1,3]，所以 f(x1)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]， 使得 f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即(12)x2－m≤0，所以 m≥(12)x2，m≥(12)2， 即 m≥14.
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[解析] (1)对于选项 A， sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4≤ 2，∴此命题不成立； 对于选项 B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当 x>3 时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立； 对于选项 C，x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，∴x2＋x＝－1 对任意实数 x 都不成立， ∴此命题不成立； 对于选项 D，当 x∈π2，π时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选 B.
3．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于 0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④
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探究二 全称命题与特称命题的真假判断 [典例 2] 下列命题中，真命题是( ) A．∃x∈0，π2，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈π2，π，tan x>sin x
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探究一 全称命题与特称命题的判断 [典例 1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于 360°； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1； (4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
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[自主梳理]
一、全称量词与存在量词 1．全称量词和全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作 全称量词 ，并用符号“ ∀ ” 表示，含有 全称量词 的命题，叫作全称命题． 通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示．那么，全称命题“对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p(x) ，读作“对 M 中任意一个 x，都有 p(x)成立”．
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3．若命题“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析：若命题为真，则对应方程 x2＋2ax＋2－a＝0 有解，即 Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 解得 a≥1 或 a≤－2. 答案：a≥1 或 a≤－2
是 全称命题 ．
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[双基自测] 1．(2016·高考浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 解析：由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否 定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2” 的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2”． 答案：D
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[解析] (1)綈 p：∃x0∈R，x20－x0＋14<0，假命题． 因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0 恒成立． (2)綈 p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
(3)綈 p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． 因为 x＝－1 时，x3＋1＝0.
二、全称命题与特称命题的否定 1．全称命题的否定 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论： 全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p： ∃x0∈M，綈 p(x0) ，全称命题的否
定是 特称命题 ．
2．特称命题的否定 一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x)，它的否定綈 p：∀x∈M，綈 p(x) ．特称命题的否定
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2．下列四个命题中的真命题为( )
A．∃x0∈Z,1<4x0<3 C．∀x∈R，x2－1＝0
B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析：x2＋x＋2＝x＋122＋74>0，
∴∀x∈R，x2＋x＋2>0 为真命题．
故应选 D. 答案：D
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3．已知定义在 R 上的函数 f(x)，写出命题“若对任意实数 x 都有 f(－x)＝f(x)， 则 f(x)为偶函数”的否定： _________________________________________________________________. 解析：所给命题是全称命题，其否定为特称命题． 答案：若存在实数 x0，使得 f(－x0)≠f(x0)，则 f(x)不是偶函数
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等
比数列；④三角形的内角和是 180°.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都 是 180°，故有三个全称命题”． 答案：D
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人教高中数学全称量词与存在量词课 文分析
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4．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数 a 的取值范围是________． 解析：因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0” 为真命题．因此 Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2 2≤a≤2 2. 答案：－2 2≤a≤2 2
人教高中数学全称量词与存在量词课 文分析
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[感悟提高] 不等式恒成立求参数问题常用等价转化思想解决，一般等价转化为 函数的最值问题求解.
人教高中数学全称量词与存在量词课 文分析
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[随堂训练] 1．已知命题 p：∃n∈N,2n>1 000，则綈 p 为( )
2．存在量词和特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 存在量词 ，并用符号 “ ∃ ”表示，含有 存在量词 的命题，叫作特称命题． 特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0) ， 读作“ 存在 M 中的一个 x0，使得 p(x0)成立 ”．
[答案] B
人教高中数学全称量词与存在量词课 文分析
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判断全称命题与特称命题真假的方法 对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合 M 中的每个元素 x， 证明 p(x)成立；要判断它为假，只需在 M 中找到一个 x0，使 p(x0)不成立，即“∃ x0∈M，p(x0)不成立．” 对于特称命题“∃x0∈M，p(x0)”，要判断它为真，只需在 M 中找到 x0，使 p(x0) 成立，要判断它为假，需要判断“∀x∈M，p(x)不成立”．
人教高中数学全称量词与存在量词课 文分析
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进行一个命题的否定的方法 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是 特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在 量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式， 再依据规则来写出命题的否定．