人教版数学高二必修五不等式练习
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不等式
(一)不等式与不等关系
1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质:
(1)对称性:a b b a <⇔> (2)传递性:c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>;d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,; bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)
(5)倒数法则:b
a a
b b a 1
10,<⇒>> (6)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>⇒
>>n N n b a b a n n
且
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论)
3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式()0002
2
≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集:
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42
-=∆,则不等式的解的
各种情况如下表: 0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
(0>a )的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根
a
b x x 221-
==
无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
2、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()
()
0()()0;0()0()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨
≠⎩
3、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
(三)线性规划
1、用二元一次不等式(组)表示平面区域
二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念:
①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件.
②线性目标函数:
关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标函数. ③线性规划问题:
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解:
满足线性约束条件的解(x ,y )叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:
(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
(3)依据线性目标函数作参照直线a x +b y =0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 (四)基本不等式2
a b
ab +≤
1.若a,b ∈R ,则a 2
+b 2
≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2.如果a,b 是正数,那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 变形: 有:a+
b ≥ab 2;ab ≤2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.
3.如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;
如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4
2
S .