第4章 光纤光学课件渐变折射率分布光纤

n(r)
dS dS
分量方程 轴向分量：
角向分量：
径向分量：
d n dz 0 dS dS
n dr df d nr df 0
dS dS dS dS
d
n
dr
nr
df
2
dn(r)
dS dS dS dr
上述推导中应用了关系式: der/df=ef ; der/df=-er
直角坐标系与圆柱坐标系
n12
n
2 2
2
nr 0 rr1
gr n2 r I 2 r2 n 2
n2(r) n2(r)-I2 /r2 n2(a)- I2 /r2
n2(a)- I2 /a2
a
r
折射光线
条件:
0< n(r0) cosθz(r0)<√n22-(r02/a2)n2(r0)sin2θz(r0)cos2θφ(r0)
在r>rr1的所有区域均有光线存在，因此光线的约束作 用完全消失，光线毫无阻挡地进入包层中传播。
轴向运动： 广义折射率定理
r
rip
n(r)
z(r)
nz1 cos z1 nz2 cos z2 nz3 cos z3 .... Const
轴向运动特点
相速: Vp＝ω/β＝c/ n 恒为常数 这说明渐变折射率分布光纤(GIOF)中的光 线沿z轴传播的速度恒定不变, 与光线的轴 向夹角θz无关,这是一个与均匀折射率分 布光纤(SIOF)完全不同的重要特点(SIOF 中不同角度的光线轴向速度不同) GIOF带宽大于SIOF!
角向运动
分析φ分量方程:
n dr df d nr df 0
dS dS dS dS
对方程两边同时乘r, 得有：
d (r 2n dφ .dZ ) 0
dS dZ dS
I ---- 第二射线不变量
(r dφ／dS)|r0
I nr2dφ / dZ
＝sinθz(r0)cosθφ(r0) (dz／dS)|r0 ＝ cosθz(r0)
2
n (dr
/ dZ)2
n2 (r)
Fra Baidu bibliotek
2
n
I
2
/
r2
g(r)
径向运动特点
对于相同r值,dr/dz可正可负,且在z1和z2处 分别达到最大和最小(dr/dz＝0),因此,r－z 关系曲线关于z1和z2对称并呈周期性振荡
r
a rip
ric
z1
z2
z
光线分类判据
2
n (dr
/
dZ)2
n2 (r)
2
n
2
I
z
位
Z
置
P(X, Y, Z) 矢
r eazz
量r
eax x O
Y eayy y
X
x
x
直角坐标系
z z
圆
ez a z
柱 坐
标
r P(r, , z) 系
O
r
y
a eφ
aer
园柱坐标系与光线入射条件
cosθr＝sinθzsinθφ
z
ez
(dr/dS) |r0 ＝sinθz(r0)sinθφ(r0)
(r dφ/dS)|r0 ＝sinθz(r0)cosθφ(r0)
0
rl1
rl 2 a rl 3
r
隧道光线
条件:
n2> n(r0) cosθz(r0)>√n22－(r02/a2)n2(r0)sin2θz(r0)cos2θφ(r0)
光线存在区域: rl1 < r < rl2
r > rl3 内散焦面半径：rl1 外散焦面半径：rl2 辐射散焦面半径: rl3
n2(a)- I2 /a2
/
r2
g(r)
判据:
当g(r)≥0时,光线存在; 当g(r)＜0时,为光线禁区； 当g(r) = 0时,为内外散焦面。
gr n2 r I 2 r2 n 2
n12
n2(r)
n2(r)-I2 /r2
n2
g
n22
n2(a)- I2 /r2
n2(a)- I2 /a2
0
a rg1 rg 2
r
约束光线
r0n(r0 )sinθZ(r0 )cosθφ(r0 )
角向运动特点
光线的角动量：
恒为常数
r
2
r2
df
dt
I n
dz dt
I n
Vp
Ic
n2
– 这表明,光线角向运动速度将取决于光线轨迹 到纤轴距离r:在最大的r处光线转动最慢;在最 小的r处光线转动最快。
子午光线：θφ＝π/2， I 0
dφ/dz＝0 光线保持在同一平面
第四章 渐变折射率分布光纤
渐变折射率分布
渐变折射率分布光纤的纤芯中,折射率n(r)是径
向距离r的函数；
n2(r) nn2212 1 2(r / a)g
ra ra
g=1: 三角分布
g=2: 平方率分布
g=： 阶跃分布
实际使用的光纤绝大多数
是弱导光纤,纤芯中折射率
变化很缓慢。
§4.1 几何光学方法分析
外散焦面: 光线转折点(rip)的集合
导光条件: n2 n n1
–局部数值孔径: 定义局部数值孔径NA(r)为入 射点媒质折射率与该点最大入射角的正弦值之 积,即:
NA(r) n0 (r)sinimax(r) n2 (r) n22
0
GIOF中光线的传播: 倾斜光线
射线方程
d
(n
dr )
条件:
n2＜n(r0) cosθz(r0)＜n1
光线存在区域: rg1 < r < rg2
内散焦面半径：rg1 外散焦面半径：rg2
导光条件: n2 n n1
gr n2 r I 2 r2 n 2
n12
n2(r)
n2(r)-I2 /r2
n
2 2
n2(a)- I2 /r2
2
nl
n2(a)- I2 /a2
基本方程：射线方程（光线方程）
d (n d r ) n(r) dS dS
GIOF中光线的传播:子午光线
–渐变折射率分布： n(r) n1 1 2(r / a)g
1/ 2
n2
0ra ra
–光线轨迹: 限制在子午平面内传播的周期曲线。轨迹 曲线在光纤端面投影线仍是过园心的直线，但一般不 与纤壁相交。
(dz/dS)|r0
＝rcosθrzr(ˆr0) zzˆ
x
P
r r
zdz
r P0 r0
ds
r0 p
r0df dl dr
f
y
ef
Q er
轴向运动
分析轴向分量方程:
d n dz 0 dS dS
有： n(dz/dS)=const., 令其为 n , 则有
n ＝n(r)dz/dS＝n(r)cosθz(r)=n(r0)cosθz(r0) n ---- 第一射线不变量
内传播
偏斜光线：方位角φ随z单调增
加，角度变化率 d：f dz I nr 2
φ的变化率也呈周期振荡
径向运动
分析 r 分量方程:
d
n
dr
nr
df
2
dn(r)
dS dS dS dr
方程两边同时乘上n(r)，得：
d
dr
n
dr
2
dz
d dr
I r
2 2
d dr
n2(r)
经代数运算和化简，得: