集合的关系与基本运算总结复习

课次教学计划（教案）

通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有：

问题1：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？

例2设集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且A⊇B，求a的值

问题2：（1）集合A 是否是其本身的子集？（由定义可知，是） （2）除去∅与A 本身外，集合A 的其它子集与集合A 的关系如何？（包含于A ，但不等于A ）

例3.已知{}{}

,B A ,ab ,a ,a B ,b ,a ,1A 2===且求实数a 、b .

设a 、b ∈R ，集合{1，a + b ，a }={0，a b

，b }，则b – a =( )

(请写出解题过程)

A . 1

B . -1

C . 2

D . -2

3.真子集： 由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：

(1)A ⊆A (任何集合都是其自身的子集)；

(2)若A ⊆B ，而且A ≠B （即B 中至少有一个元素不在A 中），则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ⊂≠

B 。（空集是任何非空集合的真子集） (3)对于集合A ，B ，

C ，若A ⊆B ，B ⊆C ，即可得出A ⊆C ；对A ⊂≠ B ，B ⊂≠ C ，同样有A ⊂≠

C, 即：包含关系具有“传递性”。

4.证明集合相等的方法：对于集合A ，B ，若A ⊆B 而且B ⊆A ，则A=B 。（1）证明集合A ，B 中的元素完全相同；（具体数据）（2）分别证明A ⊆B 和B ⊆A 即可。（抽象情况）

例4.己知集合A=｛x ｜一2≤x≤5｝,B=｛x ｜m 十1≤x≤2m 一1｝,若B ⊆A,求实数m 的取值范围.

已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )；

A 3个

B 4个

C 5个

D 6个

问题3: 请看下例

分析：(借助于文氏图)集合B 就是集合S 中除去集合A 之后余下来的集合，则有 6.全集

如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集

（uniwerse set ），记作U 。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U ，那么

有理数集Q 的补集C U Q 就是全体无理数的集合。

7.补集(余集)

一般地，设U 是一个集合，A 是U 的一个子集（即A ⊆S ），由U 中所有不属于A 的

元素组成的集合，叫做U 中集合A 的补集（或余集），记作C U A ，即C U A={x|x ∈U ，且x ∉A}

图1—3阴影部分即表示A 在U 中补集C U A 。

例5.己知全集U=｛1,2,3,4,5｝,A=｛x ｜x 2十px 十4=0,x ∈U ｝,求C U A 与p

分析：C U A 隐含了A ⊆U,.注意不要忘.记A=￠ 的情形.

练习：解答下列各题：

(1) 已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求B ；

(2) 设全集U={2，3，m 2+2m-3}，A={|m+1|，2}，C U A={5}，求m 的值；

(3) 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x 2-5x+m=0，x ∈U}，求C U A 、m ；

知识点巩固

题型一 判断集合间的关系问题

例1 下列各式中，正确的个数是（ ）

(1) {0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}⊆{2，1，0}；（3）⊆∅{0，1，2}；（4）=∅{0}；

（5）{0，1}={（0，1）}；（6）0={0}。

A={班上所有参加足球队同学} B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学} 那么S 、A 、B 三集合关系如何.

A.1

B.2

C.3

D.4

题型二确定集合的个数问题

例2已知{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有__________个。题型三利用集合间的关系求字母参数问题

1.已知集合A={x︱1＜a x＜2}，B={x∣x

＜1},求满足A⊆B的实数a的范围。(不等式问题)

2.（2.用数轴解题）已知A={x︱x＜-1或x＞5}，B={x∈R︱a＜x＜a+4}，若A⊇B，求实数a 的取值范围。

二、分类讨论思想

3.已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，a c，a c2}，若A=B，求c的值。

2.开放探究题

4.已知集合A={x∣

a

x-

=4}，集合B={1，2，b}.

（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由。

（2）若A⊆B成立，求出对应的实数对（a，b）

交集与并集

图（3）阴影部分是由A 、B 组成； 图（4）集合A 是集合B 的真子集； 1.并集： 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集

(union set)，即A 与B 的所有部分，记作A ∪B （读作“A 并B”），即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。

如上述图（3）中的阴影部分。

2.交集：

一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的所有元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集

（intersection set ），即A 与B 的公共部分，记作A∩B （读作“A 交B”），即A∩B={x|x ∈A 且x ∈B}。

如上述图（2）中的阴影部分。

3.一些特殊结论

由图（4）有: 若A B ⊆,则A∩B=A ； 由图（5）有: 若B A ⊆,则A ⋃B=A ；

特别地，若A ，B 两集合中，B=∅，则A∩∅=∅, A ⋃∅=A 。

例1．设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B 。

[涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图1—6)

例2．设A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形} 求A ∪B 。

例3．设A={x|-1

[利用数轴，将A 、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求](图1—9)

5.课堂练习：

1．已知M={1}，N={1，2}，设A={（x ，y ）|x ∈M ，y ∈N}，B={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈M}，求A∩B ，A ∪B 。

1.1.3 集合的基本运算

例1 设集合A ={x ︱-1＜x ＜2}，集合B ={ x ︱1＜x ≤3 }，求A Y B .

例2 A ={ x ︱-1＜x ≤4}，B ={ x ︱2＜x ≤5}，求A I B .