27.2.3 求二次函数的关系式

A
-2
o
B
5
当C（0，3）时，函 数的解析式为： y=-x² +2x+3
4 2 -5 5
-4
当C（0，-3）时，函数的解析式为： -y=-x² +2x+3,即y=x² -2x-3
-2
-4
归纳小结
二次函数解析式的确定:
求二次函数解析式可用待定系数法. (1)当已知图象上任意三点的坐标或 已知三对对应值时，使用一般式： 2 y ax bx c 来解； (2)当已知顶点坐标或最值时，使 2 用顶点式 y ax h k 来解，比较 简单。
顶点坐标（h，k） *(3)两根式 y
a( x x1 )( x x 2 )( a 0)
2
条件：若抛物线 ax bx c y 与x轴交于两点（ 1 ,0), ( x 2 ,0). x
*例5.已知：如图,求二次函数解析式y=ax² +bx+c.
4
3
A
C
2
o
-1
-2 -4
解：如图,由题意得：抛物线与x轴 交点的横坐标为－1和3 ∴设所求函数解析式为y=a(x＋1)(x－3) ∵图象过点（0，3） 3 ∴3=a(0＋1)(0－3) ∴a=－1
2
例3.已知：二次函数的图像的对称轴为直线 x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点 (–1,–3)，求这个函数的解析式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是 （－3，5），所以，设y=a(x+3)² ＋5
又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)² ＋5 ∴ a=－2 ∴所求的函数解析式为：y= –2(x+3)² ＋5 即y= –2x² –12x–13
二次函数的解析式有哪些形式？
(1)一般式 y ax2 bx c(a 0) (2)顶点式 y a( x h) k (a 0)
2
顶点坐标（h，k） *(3)两根式 y
a( x x1 )( x x 2 )( a 0)
2
条件：若抛物线 ax bx c y 与x轴交于两点（ 1 ,0), ( x 2 ,0). x
B
5
∴所求的函数解析式为y=－(x＋1)(x－3)
即y= –x² +2x+3
例6.已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并 且△ABC的面积是6，求这个函数的解析式。
4
C
2
分析：由题意可知OC的长是3，所以 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
4Fra Baidu bibliotek
2
例4.已知：二次函数 的图像的顶点的坐标 是（1，4）,并且抛物 线与x轴的两个交点的 距离是4，求这个函数 的解析式。
B
5
Ａ
-2
x＝１
-4
二次函数的解析式有哪些？
(1)一般式 y ax2 bx c(a 0) (2)顶点式 y a( x h) k (a 0)
2
3 例2.已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 y 2 x 3
与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解 析式. 分析： 3 ∵直线 y x 3 与x轴、y轴的交点为
（2，0），（0，3）则： 4a 2b c 0 c 3 a b c 1
例1.已知：二次函数的图像经过点A(–1，6)、 B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。 解：设所求函数解析式为y=ax² +bx+c . 由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得
a b c 6 9a 3b c 0 c 3
解这个方程组得a= 0.5，b= – 2.5，c=3 ∴所求得的函数解析式为y=0.5x² 2.5x+3 –
归纳小结
二次函数解析式的确定:
（3）过与x轴的两个交点和一普通 点的二次函数解析式确定. 交点式 y a( x x1 )( x x 2 )( a 0)
条件：若抛物线 ax bx c y
2
与x轴交于两点（ 1 ,0), ( x 2 ,0). x