汇交力系与力偶系
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FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 0 FRx Fx 0 FRy Fy 0 空间汇交力系的平衡方程 FRz Fz 0
说明：①空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三 个未知量。
②上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任 何两轴不相互平行。
合力: FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx ,cos FRy ,cos FRz
FR
FR
FR
12
六、汇交力系平衡的解析法
1、平面汇交力系： 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。
FR 0
FRx Fx 0 FRy Fy 0
5
19
B点：
F'BC
FBF
FBA
FBE
Fx 0, FBE cos cos45 FBF cos cos45 0 Fy 0, FBC sin60 FBE cos cos45 FBF cos cos45 0 Fz 0, FBA FBC cos60 FBE sin FBF sin 0
力多边形自行封闭。
或：力系中各百度文库的矢量和等于零。
FR
6
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图
F
r
FB NFAA
7
∵当碾子刚离地面时FA=0，拉力 F、自重
14
[例2] 已知 AC=BC= l , h , P . 解：①研究C
②画出受力图
求 : FAC , FBC
③列平衡方程
Fx 0
FBC cos FAC cos 0
FBC FAC
Fy 0
FAC sin FBC sin P 0
P Pl
FAC FBC 2sin 2h
A h
FAC
B C
P y
FBC
x
P 15
FAC
FBC
P
2 s in
Pl 2h
A h
FAC
B C
P
y FBC
x
P
16
[例3] 已知 P=2kN 求FCD , FA 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
Fx 0
FA cos FCD cos 450 0
Fy 0
P FA sin FCD sin450 0
解题步骤： ①选择研究对象
Fx 2 Fy 2 0
平面汇交力系平衡的解析条件 平面汇交力系的平衡方程。 说明：两个方程可求解两个未知量；
投影轴可任意选择。
②画出研究对象的受力图（取分离体）
③列平衡方程（选投影轴） 13
2、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
FRx
Fx
作用点： 为该力系的汇交点
11
2、空间汇交力系的合成：
FR F1 F2 F3 Fn
F i
即：合力等于各分力的矢量和。
F i
F xii
Fyi
j
Fzi
k
FR Fxii Fyi j Fzik
Fxi 为合力在x轴的投影
FRx Fxi
FRy Fyi
FRz Fzi
cos 450
cos
3.16 kN
18
[例4] 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN;
求：绳BE、BF的拉力和杆AB的内力
解：分别研究C点和B点 C：
FBC
Fy 0
FAC
FBC sin15 Q sin45 0,
FBC 546(kN)
cos
4
4
32 42 5
sin 3
3
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法
1.两个共点力的合成
cos(180 ) cos
FR
FR
力的平行四边形法则
力的三角形法则
由余弦定理： FR F12 F22 2F1F2 cos
合力方向可应用正弦定理确定： F1 sin
FR sin(180o
)
4
2. 任意个共点力的合成
FRx Fx
x
FRy Fy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
10
二、汇交力系合成的解析法 1、平面汇交力系
y
FRx Fx
x FRy Fy
FR
合力的大小： FRx FR2x FR2y
Fx 2
Fy 2
方向：tan FRy
FRx
tan1 FRy tan1 Fy
P 及支反力 FB 构成一平衡力系。由平衡 的几何条件，力多边形封闭，故：
FB
F P tan
P
FB cos
又由几何关系：tan
r 2 (r h)2 0.577
FB
rh
所以 F=11.5kN , FB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
8
几何法解题步骤：①选研究对象； ②画出受力图； ③作力多边形； ④求出未知数。
FCD
FA
17
FA cos FCD cos 450 0
P FA sin FCD sin450 0
FCD
④ 解平衡方程
由EB=BC=0.4m，
FA
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
解得：
P
FCD sin 450 cos 450 tan 4.24 kN
FA
FCD
几何法解题不足： ①计算繁 ； ②不能表达各个量之间的函数关系。
9
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
一 、合力投影定理
y o
FR
F1
FRx
F4
F3 F2 F4x
F1x F2x F3x
FR F
FRx F1x F2x F3x F4x Fx
FRy F1y F2y F3y F4y Fy
1
引言
力系分为：平面力系、空间力系
力系
①汇交力系 ②力偶系 ③一般力系(任意力系)
汇交力系： 各力的作用线汇交于一点的力系。
F 例：起重机的挂钩。
研究方法：几何法，解析法。
F1
F2
2
第二章 汇交力系与力偶系 §2–1 汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2 汇交力系合成与平衡的解析法 §2–3 力偶及其性质 §2–4 力偶系的合成与平衡
FR
结论： FR F1 F2 F3 F4
即：
FR
力多边形法则
FR F
即：汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过各力的汇交点。
5
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充要条件是：
FR F 0
在几何法求力系的合力中，合
FR
力为零意味着力多边形自行封闭。
汇交力系平衡的必要与充分的 几何条件是：
说明：①空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三 个未知量。
②上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任 何两轴不相互平行。
合力: FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx ,cos FRy ,cos FRz
FR
FR
FR
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六、汇交力系平衡的解析法
1、平面汇交力系： 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。
FR 0
FRx Fx 0 FRy Fy 0
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B点：
F'BC
FBF
FBA
FBE
Fx 0, FBE cos cos45 FBF cos cos45 0 Fy 0, FBC sin60 FBE cos cos45 FBF cos cos45 0 Fz 0, FBA FBC cos60 FBE sin FBF sin 0
力多边形自行封闭。
或：力系中各百度文库的矢量和等于零。
FR
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[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图
F
r
FB NFAA
7
∵当碾子刚离地面时FA=0，拉力 F、自重
14
[例2] 已知 AC=BC= l , h , P . 解：①研究C
②画出受力图
求 : FAC , FBC
③列平衡方程
Fx 0
FBC cos FAC cos 0
FBC FAC
Fy 0
FAC sin FBC sin P 0
P Pl
FAC FBC 2sin 2h
A h
FAC
B C
P y
FBC
x
P 15
FAC
FBC
P
2 s in
Pl 2h
A h
FAC
B C
P
y FBC
x
P
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[例3] 已知 P=2kN 求FCD , FA 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
Fx 0
FA cos FCD cos 450 0
Fy 0
P FA sin FCD sin450 0
解题步骤： ①选择研究对象
Fx 2 Fy 2 0
平面汇交力系平衡的解析条件 平面汇交力系的平衡方程。 说明：两个方程可求解两个未知量；
投影轴可任意选择。
②画出研究对象的受力图（取分离体）
③列平衡方程（选投影轴） 13
2、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
FRx
Fx
作用点： 为该力系的汇交点
11
2、空间汇交力系的合成：
FR F1 F2 F3 Fn
F i
即：合力等于各分力的矢量和。
F i
F xii
Fyi
j
Fzi
k
FR Fxii Fyi j Fzik
Fxi 为合力在x轴的投影
FRx Fxi
FRy Fyi
FRz Fzi
cos 450
cos
3.16 kN
18
[例4] 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN;
求：绳BE、BF的拉力和杆AB的内力
解：分别研究C点和B点 C：
FBC
Fy 0
FAC
FBC sin15 Q sin45 0,
FBC 546(kN)
cos
4
4
32 42 5
sin 3
3
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法
1.两个共点力的合成
cos(180 ) cos
FR
FR
力的平行四边形法则
力的三角形法则
由余弦定理： FR F12 F22 2F1F2 cos
合力方向可应用正弦定理确定： F1 sin
FR sin(180o
)
4
2. 任意个共点力的合成
FRx Fx
x
FRy Fy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
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二、汇交力系合成的解析法 1、平面汇交力系
y
FRx Fx
x FRy Fy
FR
合力的大小： FRx FR2x FR2y
Fx 2
Fy 2
方向：tan FRy
FRx
tan1 FRy tan1 Fy
P 及支反力 FB 构成一平衡力系。由平衡 的几何条件，力多边形封闭，故：
FB
F P tan
P
FB cos
又由几何关系：tan
r 2 (r h)2 0.577
FB
rh
所以 F=11.5kN , FB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
8
几何法解题步骤：①选研究对象； ②画出受力图； ③作力多边形； ④求出未知数。
FCD
FA
17
FA cos FCD cos 450 0
P FA sin FCD sin450 0
FCD
④ 解平衡方程
由EB=BC=0.4m，
FA
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
解得：
P
FCD sin 450 cos 450 tan 4.24 kN
FA
FCD
几何法解题不足： ①计算繁 ； ②不能表达各个量之间的函数关系。
9
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
一 、合力投影定理
y o
FR
F1
FRx
F4
F3 F2 F4x
F1x F2x F3x
FR F
FRx F1x F2x F3x F4x Fx
FRy F1y F2y F3y F4y Fy
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引言
力系分为：平面力系、空间力系
力系
①汇交力系 ②力偶系 ③一般力系(任意力系)
汇交力系： 各力的作用线汇交于一点的力系。
F 例：起重机的挂钩。
研究方法：几何法，解析法。
F1
F2
2
第二章 汇交力系与力偶系 §2–1 汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2 汇交力系合成与平衡的解析法 §2–3 力偶及其性质 §2–4 力偶系的合成与平衡
FR
结论： FR F1 F2 F3 F4
即：
FR
力多边形法则
FR F
即：汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过各力的汇交点。
5
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充要条件是：
FR F 0
在几何法求力系的合力中，合
FR
力为零意味着力多边形自行封闭。
汇交力系平衡的必要与充分的 几何条件是：