八年级上册泉州数学【几何模型三角形轴对称】试卷(培优篇)(Word版 含解析)
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八年级上册泉州数学【几何模型三角形轴对称】试卷(培优篇)(Word 版 含
解析)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.取一副三角板按图()1拼接,固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=,将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ,图()2所示.试问:
()1当a 为多少时,能使得图()2中//AB CD ?说出理由,
()2连接BD ,假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ,当00)45(a ≤≤时,探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况,并给出你的证明.
【答案】(1)15°;(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=,即可求出a ;
(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠,30C ∠=︒, EFM BDC DBM ∠=∠+∠, 45M ∠=︒,即可利用三角形内角和求出答案.
【详解】
()1当a 为15时,//AB CD ,
理由:由图()2,若//AB CD ,则30BAC C ∠=∠=,
453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒,
所以,当a 为15时,//AB CD .
注意:学生可能会出现两种解法:
第一种:把//AB CD 当做条件求出a 为15,
第二种:把a 为15当做条件证出//AB CD ,
这两种解法都是正确的.
()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒
证明: ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,
30FEM CAM ∴∠=∠+︒,
EFM BDC DBM ∠=∠+∠,
DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,
180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,
3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,
1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,
所以,DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105.
【点睛】
此题考查旋转的性质,平行线的性质,三角形的外角定理,三角形的内角和,(2)中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.
2.如图1,在平面直角坐标系中,点D (m ,m +8)在第二象限,点B (0,n )在y 轴正半轴上,作DA ⊥x 轴,垂足为A ,已知OA 比OB 的值大2,四边形AOBD 的面积为12.
(1)求m 和n 的值.
(2)如图2,C 为AO 的中点,DC 与AB 相交于点E ,AF ⊥BD ,垂足为F ,求证:AF =DE .
(3)如图3,点G 在射线AD 上,且GA =GB ,H 为GB 延长线上一点,作∠HAN 交y 轴于点N ,且∠HAN =∠HBO ,求NB ﹣HB 的值.
【答案】(
1)42m n =-⎧⎨=⎩
(2)详见解析;(3)NB ﹣FB =4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.
【解析】
【分析】
(1)由点D ,点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12,可列方程组,解方程组即可; (2)由(1)可知,AD =OA =4,OB =2,并可求出AB =BD =25,利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ,并可得∠AEC =90°,利用三角形面积公式即可求证;
(3)取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,证明
△ABH ≌△CAN ,即可得到结论.
【详解】
解:(1)由题意()()218122
m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩
; (2)如图2中,
由(1)可知,A (﹣4,0),B (0,2),D (﹣4,4),
∴AD =OA =4,OB =2,
∴由勾股定理可得:AB =BD =5
∵AC =OC =2,
∴AC =OB ,
∵∠DAC =∠AOB =90°,AD =OA ,
∴△DAC ≌△AOB (SAS ),
∴∠ADC =∠BAO ,
∵∠ADC +∠ACD =90°,
∴∠EAC +∠ACE =90°,
∴∠AEC =90°,
∵AF ⊥BD ,DE ⊥AB ,
∴S △ADB =
12•AB •AE =12
•BD •AF , ∵AB =BD ,
∴DE =AF .
(3)解:如图,取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,
∵AG =BG ,
∴∠GAB =∠GBA ,
∵G 为射线AD 上的一点,
∴AG ∥y 轴,
∴∠GAB =∠ABC ,
∴∠ACB =∠EBA ,
∴180°﹣∠GBA =180°﹣∠ACB ,
即∠ABG =∠ACN ,
∵∠GAN =∠GBO ,
∴∠AGB =∠ANC ,
在△ABG 与△ACN 中,
ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABH ≌△ACN (AAS ),
∴BF =CN ,
∴NB ﹣HB =NB ﹣CN =BC =2OB ,
∵OB =2
∴NB ﹣FB =2×2=4(是定值),
即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.
【点睛】
本题属于三角形综合题,全等三角形的判定和性质,解题的关键是相结合添加常用辅助线,构造图形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.
3.如图,已知
△ABC 中,AB =AC =20cm ,BC =16cm ,点D 为AB 的中点.
(1)如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动,同时点Q 在线段CA 上由