例析物理竞赛中纯电阻电路地简化和等效变换
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例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
计算一个电路的电阻,通常从欧姆定律出发,分析电路的串并联关系。实际电路中,电阻的联接千变万化,我们需要运用各种方法,通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中,如果能找到一些完全对称的点(以两端连线为对称轴),那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开(即去掉),也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来,且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点,然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中,R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ,试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析:这是一个基本的等势缩点的事例,用到的是物理常识是:导线是等势体,用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A 、D 缩为一点A 后,成为图8-4乙图。
答案:R AB = 8
3R 。
【例题2】在图8-5甲所示的电路中,R 1 = 1Ω ,R 2 = 4Ω ,R 3 = 3Ω ,R 4 = 12Ω ,R 5 = 10Ω ,试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析:这就是所谓的桥式电路,这里先介绍简单的情形:将A 、B 两端接入电源,并假设R 5不存在,C 、D 两点的电势相等。
因此,将C 、D 缩为一点C 后,电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图,求R AB 是非常容易的。事实上,只要满足21R R =4
3
R R 的关系,该桥式电路平衡。 答案:R AB =
4
15
Ω 。 【例题3】在如图所示的有限网络中,每一小段导体的电阻均为R ,试求A 、B 两点之
间的等效电阻R AB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架,ABCD 是正四面体,每段导线的电阻都是1Ω。
求AB 间的总电阻。
2、电流分布法 设有电流I 从A 点流入、B 点流出,应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想,(即基耳霍夫定理),建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组,解出各支路电流与总电流I 的关系,然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压
AB U ,再由
I
U R AB AB =
即可求出等效电阻。
【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络,试
求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R
。
【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络,试求出A 、B 两点之间的等效电阻
AB R 。
【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络,C 、D 之间是两根电阻丝并联而成,试求出A 、B 两点之间的等效电阻
AB R 。
电流叠加原理:直流电路中,任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别
A
B
D
C
A B
C D A B
作用时,在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用,就是假设将其余电源均除去,但是它们的内阻仍应计及。
【例题4】“田”字形电阻网络如图,每小段电阻为R ,求A 、B 间等效电阻。
3、Y —△变换法
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y 型
或△,如图所示,有时把Y 型联接代换成等效的△型联接,或把△型联接代换成等效的Y 型联接,可使电路变为串、并联,从而简化计算,等效代换要求Y 型联接三个端纽的电压
312312U U U 、、及流过的电流3
21I I I 、、与△型联接的三个端纽相同。
⑴将Y 型网络变换到△型电路中的变换式:
31
3322112R R R R R R R R ++=
21
3322131R R R R R R R R ++=
1
1
3322123R R R R R R R R ++=
⑵将△型电路变换到Y 型电路的变换式:
31231231
121R R R R R R ++=
31231223
122R R R R R R ++=
31231223
313R R R R R R ++=
以上两套公式的记忆方法:
△→Y :分母为三个电阻的和,分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。 Y →△:分子为电阻两两相乘再相加,分母为待求电阻对面的电阻。 当Y 形联接的三个电阻相等时,与之等效的△形联接的三个电阻相等,且等于原来的三倍;同样,当△联接的三个电阻相等时,与之等效的Y 形联接的三个电阻相等,且等于原来的1/3。
【例题1】对不平衡的桥式电路,求等效电阻R AB 。
B
A
123
3I 3R O 2
R 1
R 2
I 1
I
3I 3
2
I 21
I 123R 31
R 12
R
提示:法一:“Δ→Y ”变换;
法二:基尔霍夫定律
【例题2】试求如图所示电路中的电流I 。(分别
应用两种变换方式计算)
【课堂练习】分别求下图中AB 、CD 间等效电阻。( 答案:0.5R; R PQ =4Ω)
4、无限网络
若
,⋯++++=a a a a x (a >0)
在求x 值时,注意到x 是由无限多个a 组成,所以去掉左边第一个+a 对x 值毫
无影响,即剩余部分仍为
x ,这样,就可以将原式等效变换为x a x +=,即
02=--a x x 。所以
2411a
x ++=
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路,那就是:无穷大和有限数的和仍为无穷
大。
⑴一维无限网络
【例题1】在图示无限网络中,每个电阻的阻值均为R ,试求A 、B 两点间的电阻R AB 。
解法一:在此模型中,我们可以将“并联一个R 再串联一个R ”作为电路的一级,总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中,虚线部分右边可以看成原有无限网络,当它添加一级后,仍为无限网络,即
V 4123I 3'
2'1'Ω1Ω1Ω1Ω
6Ω6Ω6