斜线在平面上的射影,直线和平面所成的角
直线在平面内的射影
O
从平面内一点发出的 从平面外不同点发出 斜线段，长度虽然相等， 的斜线段，长度虽然相等， 但射影不一定相等。 但射影不一定相等。
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题
例1.如图，AO是平面π 的斜线，AB ⊥平面π于B， OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证：cos =cos cos O
A
C
B D
OB＞OC AB ＞AC O
B
C
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一
B
O
点向这个平面所引的
C
垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
练 习
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
6
3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍， B O 求斜线和平面β所成的 β 角。 如图，斜线段AB是其射影OB的 两倍，求AB与平面β所成的角。 5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平 面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离 相等，则P点在△ABC A 所在平面上的射影是 △ABC的 心。 外
平面的斜线和平面所成的角
M
O β
6
N'
M'
4
N'
1
M'
1 ' 解： 当M，N在平面同则时有 sin MOM 2 OM 1 OM=2 3 ' OM 6 4 cos MOM . 2
例2:线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米， N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β 所成角 的余弦值。
θ与∠AOD的大小关系如何？
二、最小角定理：
A
l
θ与∠AOD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
O
C
∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD
AB 斜线和平面所成的角， sin B AO 是这条斜线和平面内任意 D AC 在Rt 的直线所成的一切角中最 △AOC中，sin AOD AO 小的角。
0
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
解: 由最小角定理得
6 3
。
A
cos AOD cos BOD cos
O
C
即cos 60 cos30 cos
0 0
B D
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
引例:如图，OA是平面的斜线， AB⊥平面 于B，OC是 内不与 OB重合的任意直线，∠AOB= ， ∠BOC= ，∠AOC= ， O 求证：cos =cos cos C 证明: 设|AO|=1则
线与平面所成的角
G 在平面ABFE上的射影是什么？
F
②HG在平面ABCD上的射
影分别是什么？ HC呢？
C
B
③EC在平面ABCD上的射影
分别是什么？
在平面ABFE上的射影是什 么？
A
B
C
E
D
从平面外一点向这个
平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，那一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所
成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0,90]。
Al
O
B
CD
l是平面 的斜线，A是l
上任意一点，AB是平面
的垂线，B是垂足，
OB是斜线l的射影，θ是
斜线l与平面 所成的角.
θ与∠AOD的大小关系如何？
习 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6 3
。
§9.4.4 线 和 平 面 所 成 的 角
一、基本概念： 1.点在平面里的射影：
p
Q
O
自一点向平面引垂
线，垂足叫做这点在这 个平面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。
2.斜线在平面里的射影： 一条直线和一个平面
相交，但不和这个平面垂
A
直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的
面β所成角的余弦值。
N ∠MOM'就是MN与β所成的角
N
M O M'
移出图 N'
M6
4
1
β
O
N'
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
直线在平面内的射影
O
从平面内一点发出的 从平面外不同点发出 斜线段，长度虽然相等， 的斜线段，长度虽然相等， 但射影不一定相等。 但射影不一定相等。
妹没什么任何道理可讲/于是赶快转移话题/扭过头朝霍沫说道：/那是年姐姐/还别赶快行礼？/霍沫被那各年姐姐の壹声/好么/搞得神情尴尬/面色通红/壹听排字琦招呼她/总算是替她解咯围/于是赶快上前规矩地行咯请安礼：/妹妹 惊人の秘密：/主子/府の奴才们都在私下传着壹各消息/奴婢听咯吓坏咯/根本别敢相信/仆役妹们还跟奴婢来问是别是真の呢///噢？啥啊事情能把您给吓着？那太阳可就从西头出来咯///回主子/真の快把奴婢の魂儿吓坏咯/人人都在 传言/说年侧福晋の魂儿找回来咯///啥啊？/排字琦被红莲の那壹句话惊得将手中の茶盏打翻在桌子上/热茶水洒咯壹桌子/有几点已经溅到咯她の手背上/红莲见状赶快上前去帮着擦拭/壹边小声嘀咕道：/奴婢就说嘛/当初听到の时候 /真别敢相信呢/那魂儿当初怎么说丢就丢咯/现在怎么说找回来就又找回来咯？莫别是……//就您嘴欠/我看您是别是想见小顺子那各奴才咯？//奴婢知错咯/知错咯/奴婢巴别得离那各奴才远远の/怎么可能想见他呢//小顺子是王府の 行刑奴才/众人无别谈之色变/红莲当然也别例外/那边吓唬住咯红莲/那边排字琦可是心生惊澜/她壹定要搞清楚/到底是怎么回事儿/第1451章/惊心排字琦本想借着替元寿小格求情の机会从王爷那里壹探天仙妹妹の虚实/可是她提咯几 次都没什么得到他同意见面の应允/排字琦是各急性子/王爷那里寻别到突破/无奈之下只得亲自出马/希望能够从天仙妹妹那里得到答案/答案很简单/别费吹灰之力/只是那各答案令排字琦の心中止别住地疑虑从生/那两各人又是因为 啥啊闹起来の别扭？然而那各问题实在是太难咯/她那壹各月里前前后后来咯七八趟都没什么寻到正确答案/排字琦の好奇心没什么得到满足/却是将水清弄得整日里心惊肉跳、惶
斜线在平面内的射影 直线和平面所成的角
D
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角， 所成的锐角， 叫做这条直线和这个平面所成的角。 叫做这条直线和这个平面所成的角。
斜线和平面所成的角， 是这条斜线和这个平面内 经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角。
(1)P在∆ABC所在平面外，P在面ABC内的射影为O
当PA = PB = PC时, O是∆ABC的
直线和平面所成的角
定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段 中： （ 1） 射影相等的两条斜线段相等， 射影较长的斜线 ） 射影相等的两条斜线段相等 ， 段也较长； 段也较长； （ 2） 相等的斜线段的射影相等 ， 较长的斜线段的射 ） 相等的斜线段的射影相等， 影也较长； 影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。 ）垂线段比任何一条斜线段都短。
的所成的角
C
A
B
射影问题
外心
内心
当P到∆ABC三边距离相等时, O是∆ABC的
当PB与AB, BC与所成角相等时, O在∠ABC的
(2)Rt∆ABC中，∠ACB = 90o，O为AB中点
PБайду номын сангаас ⊥ 平面ABC于O PA, PB, PC大小关系为
O
P
A
B
C
例 题
α , β , θ均为锐角
异面直线a, b所成的角为50°，P为空间一定点 则过点P且与a, b所成角都是30°的直线有( )条 B
解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意 ∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，
∴∠CDC1＝60°．
这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线 与平面成角的几个概念， 射影定理中的三个结论成立的前提是 这些斜线段及垂线段必须是从平面外 同一点向平面所引而得到的． 否则，结论不成立． 正确求出直线和平面所成的角
高中数学选修2-1斜线在平面内的射影,线面角
C
E
D P C Q A B
练习：若直线l与平面α所成角 为 ，直线a在平面α内，且与 3 直线l异面，则直线l与直线a所 成角的取值范围是 。
例4 ABCD为空间四边形，AC和BD是对角线， 假设此四边形各边之长与对角线之长均为1， E为AD中点，试求CE与平面BCD所成角的余弦 值。
A E B D
[结论]：从平面外一点向平面引的垂线段和斜线段中： (1)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长； (2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影 也较长； A (3)垂线段比任何一条斜线段都短.
α B O C
直线和平面所成的角：
(1).定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成 的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 规定： 当直线垂直于平面时，直线与平面所成角为900 ； 当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成角 为00 . (2).范围： 00 900 . (3).性质：斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
斜线在平面内的射影、 直线和平面所成的角
P
如图，从平面外一点P 引平面的垂线，垂足为O.
O
Q
（1）.点O叫做点P在平面内的射影；PO叫做点P 到平面的垂线段,PO的长为点P到平面的距离。
（2）.PQ所在 直线和平面相交，但不和这个平 面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线， 其中点Q叫做斜足，PQ叫做斜线段，OQ叫做 斜线段PQ在平面内射影.（斜线上任意一点在 平面内的射影，一定在斜线的射影上）
[例1]：如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中， (1)求A’D与平面ABCD所成的角； (2)求A’B与平面A’B’CD所成的角； (3)求B’B与平面A’BC’所成的角.
用空间向量求直线与平面所成的角
(5) 根据题意，转化为几何结论.
在立体几何中涉及的角有异面直线所成的 角、直线与平面所成的角、二面角等。用几何 法求这些角，需要经过“找（作）”、“证”、 “算” 等步骤，过程较为繁琐，若归结为求两 个向量的夹角问题，可将问题简单化。本节课， 我们主要探讨“直线与平面所成的角”也即 “线面角” 的求法。
角的正弦值。
z
解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz A(0，0，0)，B1(1，0， 1)，C(1， 1，0)，C1 (1， 1， 1)， 则B1C1 (0，1，0)， AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
A1 B1
D1 C1
设平面AB1C的法向量为n (x，y，z)
A
Dy
一条直线 l 与一个平面 相交但不垂直，这条直线
叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点 A 叫做斜足，
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO ，过垂足和斜
足的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条
斜线和它在这个平面内的射别地，若 l ,则
l 与 所成的角是直角，若 l //或 l ，则 l 与 所
成的角是零角。
A
O
斜线与平面所成角的范围：
0,
2
Pn
A
O n
思考： 设平面 的法向量为 n 则
n, AP 与 的关系？
n
- n, AP
2
结论：sin cos n, AP
n
n, AP -
平面的斜线和平面所成的角
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
H E
D A
G
HC与FG、EA在
F
平面ABCD上的 射影分别是什么？
DC,BC与点A
C
B
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
P
O
Aa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
射影长 定理 从平面外
O
B
C 一点向这个平面所引
的垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
O
A B
平面的斜线，斜足。 斜线段。
斜线在这个平面上的射影； 斜线段在这个平面上的射影。
斜线上任意一点在平面上的 射影，一定在斜线的射影上。
θ1 为斜线AO与AO在α 上的射影AB所成的角 θ2 为射影AB与平面α内直线AC所成的角
θ 为斜线AB 与平面α内直线AC所成的角OΒιβλιοθήκη 1A ２ BC
cos =cos １ cos２
最小角定理
平面的斜线和它在平面内的射影所
成的角，是这条斜线和平面内经过斜 足的直线所成的一切角中最小的角。
线面角
1.平面的斜线和平面所成的角
(平面的斜线和它在平面上的射影的夹角).
1
它的范围是[0，90]
2.一条直线垂直平面,线面所成的角是直角.
线面角、面面角
2、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意 O 一点为端点，在两个面上 l 分别引垂直于棱的两条射 O 线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角。 注：二面角的平面角必须满足： 角的顶点在棱上。 角的两边分别在两个面内。 角的边都要垂直于二面角的棱。 二面角的取值范围（0,π）。
B
A
B
A
1. 相交成90°的两条直线与一个平 面所成的角分别是30°与45°，则这 两条直线在该平面内的射影所成角的 正弦值为( C ) (A) 3 3
6 6 3 (B) (C) (D) 3 2 2
2.如图，正方形ABCD所在平面与正 方形ABEF所在的平面成60°的二面 角 ， 则 异 面 直 线 AD 与 BF 所 成角的余弦值是___________.
(2) 求二面角A-BC-D的平面角的正切值;
(3) 求二面角D-AB-C的平面角的正切值.
5. 已知ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD，BE⊥PC，E为垂足. 求证：平面BDE⊥平面PBC． P
E
D A B
C
2 4
3.将矩形ABCD中的△ ABD沿对角线 BD折起，使A在平面BCD上的射影O在 CD上，若O恰为CD中点，求折后直线 AB与平面BCD所成的角. D C
A D
C B
A
B
E
O
4. 在四面体ABCD中,平面ABD⊥ 平面BCD,△ABD为等边三角形， CD⊥BD，∠DBC＝30o．
(1) 求二面角A-DC-B的大小；
线面角 面面角
线面角
平面的一条斜 线和它在平面内的 射影所成的锐角， 叫做这条直线和这 个平面所成的角。
一直线垂直于平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。
专题3 线线角、线面角求法 高一数学必修第二册
CM⊂平面 PCD,所以 AM⊥CM.所以 S = △ACM 1 AM·MC= 6 .
2
2
设点 D 到平面 ACM 的距离为 h,由 V =V ,得 D-ACM M-ACD
1 S△ACM·h= 1 S · △ACD 1 PA,解得 h= 6 .
3
3
2
3
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为θ,则 sin θ= h = 6 ,
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以 PA⊥AB. 因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD.
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 因为BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM, 所以PD⊥平面ABM. 因为AM⊂平面A的一般步骤： （1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，
连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角 ，即为斜线和平面所成的角；
（2）证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）
l
I．在其中一个半平面内取恰当的一点P，
过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；
II．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；
III．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角
的平面角.
P
Q
难点突破二面角
例2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值.
【解】 如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO， 由题意知B1O⊥A1C1. 又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1， 所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角.
线面角的求法总结
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
直线与平面垂直的判定及其性质
课题 直线与平面垂直的判定及其性质知识点一：直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直的判定定理和性质定理2.直线与平面所成的角（线面所成的角关键：过斜线上一点作平面的垂线）(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.(2)线面角θ的取值范围:0°≤θ≤90°.规律总结1. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.知识点二：平面与平面垂直的判定与性质1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理2. 二面角 平面与平面垂直的定义:一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角:.AOB l αβ∠--即为二面角的平面角 题型一：线面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的方法:(1)利用判定定理(a ⊥b,a ⊥c,b ∩c=M,b ⊂α,c ⊂α⇒a ⊥α);(2)利用面面平行的性质(a ⊥α,α∥β⇒a ⊥β);(3)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a ⊥l,a ⊂β⇒a ⊥α);(4)利用面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l ⊥γ).例1：如图，已知P 是菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ＝PC ，求证：AC ⊥平面PBD .【证明】 设AC ∩BD ＝O ，由题意知O 为AC 的中点，连接PO ，因为PA ＝PC ，所以PO ⊥AC ，又因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，而PO ∩BD ＝O ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD .变式1：题型二：面面垂直的判定与性质证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面角为90°);(2)利用面面垂直的判定定理(a ⊥β,a ⊂α⇒α⊥β).2.空间垂直关系之间的转化例2：如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，1111=A B AC ，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且⊥AD DE F ，为11B C 的中点．求证：平面⊥ADE 平面11BCC B ．证明：因为111ABC -A B C 是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC .又因为⊂AD 平面ABC ，所以1⊥CC AD .又因为⊂1AD⊥DE，CC ，DE 平面111BCC B ，CC ∩DE =E ，所以AD⊥平面11BCC B . 又因为⊂AD 平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面11BCC B ． 变式2：如图,在四面体ABCD 中,平面BAD ⊥平面CAD,∠BAD=90°.M,N,Q 分别为棱AD,BD,AC 的中点.(1)求证:CD ∥平面MNQ; (2)求证:平面MNQ ⊥平面CAD.一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )A ．A 1E ⊥DC 1B ．A 1E ⊥BDC ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC如图，∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴B ，D 错；∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， ∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E 平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1)∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错．故选C.]1 2 3 42．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF[根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.]3.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．答案：AB，BC，AC；AB[∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.]4．如图7412所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC) [连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.5．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]6.如图7416，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]7.如图7413，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．[解] (1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC .又因为BD 平面ABC ，所以PA ⊥BD .(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .由(1)知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ，所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE .因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2. 由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.] 8.如图7414，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF ⊆/平面ABC ，AB 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC 平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD . 因为AD 平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC 平面ABC ，所以AD ⊥AC .9. 如图，三棱柱ABC －A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D 是棱AA1的中点.(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.。
直线与平面所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D
A
C1 B1
C B
练习2： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o D1
A
P49 练习 1（1、2）
2
O
B
C
练习：
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角 的范围是____[_3__, _2_]____
2、RT ABC的斜边BC在面内，直角边AB、AC与 面 分别成30、45，A在面内射影为O。 （1）斜边BC上的高AD与面 所成的角
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ的取值范围
是：
0
2
。
斜线与平面所成的角θ的取值范围
是：
0
2
。
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
直线在平面内的射影
X
p Q
O
自一点向平面引垂
线，垂足叫做这点在这 个平面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。
A
B
C
一条直线和一个平面 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 交点叫做斜足。
的面在定线的平在斜斜段斜面斜线线叫线上线上段做上的的一。这任射射点点意影 影与到一， 上斜这点一 。足个间平
B CD
=cos cos
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
练 成角，B是A在上的射影,OD是内的
习 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6 3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它
在平面β上射影的2倍，
求斜线和平面β所成的 β B
O
角。
如图，斜线段AB是其射影OB的
两倍，求AB与平面β所成的角。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
B
C
E
D
从平面外一点向这个
平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，那一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
A
OB=OC AB=AC
OB＞OC AB ＞AC
O
C
AB=AC OB=OC
B
AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长
相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一
高二数学教案：斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角
斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角一、素质教育目标（一）知识教学点1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段．2．有关平面的斜线的几个概念．3．有关射影的几个概念．4．射影定理．5．有关直线和平面成角的几个概念．（二）能力训练点1．加深对数学概念的理解掌握．2．初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念．2．教学难点：定理的理解及有关直线与平面成角的练习．3．教学疑点及解决方法：（1）“斜线在平面上的射影”是“直线和平面所成的角”的基础；“斜线在平面上的射影”这一小节出现概念较多，为了便于学生理解和记忆，可以边画出课本的图形1-30边讲解，结合图形记忆，快而且准．教学中，一般先画出斜线AC与平面α斜交于C，再过AC上一点A引AB⊥α，垂足为点B，连结BC，然后指出AC是平面α上的斜线；线段AC是点A到平面α的斜线段，线段AB是点A到平面α的垂线段，点B是点A到平面α的垂线的垂足，直线BC是线段AC在平面α上的射影．（2）斜线段在平面上的射影是一条线段，斜线在平面上的射影是直线，垂线和垂线段在平面上的射影退化成一个点．（3）为照顾一般习惯说法，课本中定义射影是用“在平面上”，而说点、直线“在平面内”，并非不同．（4）射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的，否则，结论不成立．（5）直线和平面相交，它们的相互位置与两条相交直线一样，仍需用角来表示，但过交点在平面内可以作许多条直线，与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不相等的，为了定义的准确性，所以取这些角中有确定值的最小角，也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角；（6）直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之，由直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置：②直线和平面平行或直线在平面内，θ＝0°．③直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°．三、课时安排1课时．四、学生活动设计常规活动．（略）五、教学步骤（一）新课概念教学1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影．这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段．2．平面的斜线的有关概念一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．3．射影的有关概念过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．说明：教师边画出课本图形1-30，边讲解．点B—点A在平面上的射影AB—点A到平面的垂线段AC—平面的一条斜线C—斜足线段AC—斜线段直线BC—斜线AC在平面上的射影线段BC—斜线段AC在平面上的射影（板书）（1）．点在平面上的射影．（2）．点到平面的垂线段．（3）．斜线、斜足、斜线段．（4）．斜线在平面上的射影．（5）．线段在平面上的射影．（二）射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短．关于射影定理说明如下：设A为平面α外一点，AO⊥α，AB、AC为任意两条斜线，O为垂足，则OB 和OC分别是AB和AC的射影．则AB和AC分别为Rt△ABO和Rt△ACO的斜边；由勾股定理可知AB2＝AO2+OB2；AC2＝AO2+OC2；比较上面两个等式，得还可以得到AB＞AO，AC＞AO．所以，AO过点A向平面α所引线段中最短的一条．（三）直线与平面成角1．定义：（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．（2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．（3）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°度的角．2．按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：（1）直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0°角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；（3）直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．3．斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．（让学生看书3分钟，加以理解）（四）例题分析1．如图1-82，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求：（1）D1B1与面AC所成角的余弦值；（2）EF与面A1C1所成的角；（3）EF与面AC所成的角．解：（2）45°．（3）45°．2．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内，AC和BC与M所成的角分别是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．分析：作出CD与平面M所成的角，然后去解含这个角的三角形．解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，∴∠CDC1＝60°．3．可让学生完成课后练习1、2．（五）归纳小结这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．六、布置作业作为一般要求，完成习题四9、10．补充：1．AB是直角三角形ABC的斜边，三个顶点在平面M的同侧，它们在M内的射影分别是A1、B1、C1，如果三角形A1B1C1是正三角形，且AA1＝3cm，BB1＝5cm，CC1＝4cm．求三角形A1B1C1的面积．解：设正三角形A1B1C1的边长为x．则AC2＝x2+1BC2＝x2+1AB2＝x2+22∵AC2+BC2=AB2，2．已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为60°，45°，30°，PO⊥平面α，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求PO 的长．参考答案：。
线面角及三垂线定理
P 证明：∵ PA⊥平面ABC
AC是斜线PC在平面ABC上的射影
又∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC
A
B C
11
精选ppt
例2 直接利用三垂线定理及逆定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面ABC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
垂心
A
内心
内心
14
C O
B
精选ppt
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 一找直线和平面垂直
P
题
回
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A Oa
顾 注意：由一垂、二垂直接得出第三垂
并不是三垂都作为已知条件
15
精选ppt
应用三垂线定理及逆定理证明直线垂 直的步骤:
“一垂二射三证明” “一垂”:找平面及平面的垂线
7
a⊥PO
精选ppt
2.三垂线逆定理
逆定理：在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它就和这条斜线的射影垂直。
8
精选ppt
3.强调
1)分清原定理和逆定理的条件和结论
原定理: 线与射影垂直
线与斜线垂直
逆定理 2)两个定理中涉及到的三个垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
9
精选ppt
“二射”:找斜线在平面上的射影
“三证明”:用定理证明直线垂直
它在平面上的射影所成
的锐角，叫做这条直线
和这个平面所成的角。
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）直线和平面垂直时
直线和平面所成的角是直角；
（3）直线和平面斜交时
直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．
3．斜线和平面所成的角
是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．（让学生看书3分钟
加以理解）
常规活动．（略）
五、教学步骤
（一）新课概念教学
1．点在平面上的射影
点到平面的垂线段自一点向平面引垂线
垂足叫做这点在这个平面上的射影．这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段．
2．平面的斜线的有关概念
一条直线和一个平面相交
但不和这个平面垂直
（四）例题分析
1．如图1-82
在正方体ABCD-A1B1C1D1中
E、F分别是AA1、A1D1的中点
求：
（1）D1B1与面AC所成角的余弦值；
（2）EF与面A1C1所成的角；
（3）EF与面AC所成的角．
解：
射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则
结论不成立．
六、布置作业
作为一般要求
完成习题四9、10．
补充：
1．AB是直角三角形ABC的斜边
三个顶点在平面M的同侧
它们在M内的射影分别是A1、B1、C1
AB2＝AO2+OB2；
AC2＝AO2+OC2；
比较上面两个等式
得
还可以得到AB＞AO
AC＞AO．所以
AO过点A向平面α所引线段中最短的一条．
（三）直线与平面成角
1．定义：
（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角
可以边画出课本的图形1-30边讲解
结合图形记忆
快而且准．教学中
一般先画出斜线AC与平面α斜交于C
再过AC上一点A引AB⊥α
垂足为点B
连结BC
然后指出AC是平面α上的斜线；线段AC是点A到平面α的斜线段
线段AB是点A到平面α的垂线段
点B是点A到平面α的垂线的垂足
直线BC是线段AC在平面α上的射影．
（6）直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之
由直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置：
②直线和平面平行或直线在平面内
θ＝0°． பைடு நூலகம்
③直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°．
三、课时安排
1课时．
四、学生活动设计
连结AC1、BC1、DC1
依题意
∠CAC1＝30°
∠CBC1＝45°
设CC1＝a
则AC＝2a
∴∠CDC1＝60°．
3．可让学生完成课后练习1、2．
（五）归纳小结
这节课
我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念
如果三角形A1B1C1是正三角形
且AA1＝3cm
BB1＝5cm
CC1＝4cm．求三角形A1B1C1的面积．
解：设正三角形A1B1C1的边长为x．
则AC2＝x2+1
BC2＝x2+1
AB2＝x2+22
∵AC2+BC2=AB2
（2）相等的斜线段的射影相等
较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短．
关于射影定理说明如下：
设A为平面α外一点
AO⊥α
AB、AC为任意两条斜线
O为垂足
则OB和OC分别是AB和AC的射影．
则AB和AC分别为Rt△ABO和Rt△ACO的斜边；由勾股定理可知
这条直线叫这个平面的斜线
斜线和平面的交点叫斜足
斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．
3．射影的有关概念
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线
过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．
说明：教师边画出课本图形1-30
否则
结论不成立．
（5）直线和平面相交
它们的相互位置与两条相交直线一样
仍需用角来表示
但过交点在平面内可以作许多条直线
与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不相等的
为了定义的准确性
所以取这些角中有确定值的最小角
也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角；
叫做这条直线和平面所成的角．
（2）直线和平面垂直--直线与平面所成的角是直角．
（3）直线和平面平行或直线在平面内--直线与平面所成的角是0°度的角．
2．按照定义
在求直线和平面所成的角时
应按下述三种情况依次进行考虑：
（1） 直线和平面平行或直线在平面内时
3．有关射影的几个概念．
4．射影定理．
5．有关直线和平面成角的几个概念．
（二）能力训练点
1．加深对数学概念的理解掌握．
2．初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
2．已知PA
PB
PC与平面α所成的角分别为60°
45°
30°
PO⊥平面α
O为垂足
又斜足A
B
C三点在同一直线上
且AB＝BC＝10cm
求PO的长．
参考答案：
第 1 页 共 8 页
（2）．点到平面的垂线段．
（3）．斜线、斜足、斜线段．
（4）．斜线在平面上的射影．
（5）．线段在平面上的射影．
（二）射影定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中
（1）射影相等的两条斜线段相等
射影较长的斜线段也较长；
边讲解．
点B-点A在平面上的射影
AB-点A到平面的垂线段
AC-平面的一条斜线
C-斜足
线段AC-斜线段
直线BC-斜线AC在平面上的射影
线段BC-斜线段AC在平面上的射影
（板书）
（1）．点在平面上的射影．
自己收集整理的
错误在所难免
仅供参考交流
如有错误
请指正！谢谢
斜线在平面上的射影
直线和平面所成的角
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．点在平面上的射影
点到平面的垂线段．
2．有关平面的斜线的几个概念．
（2）斜线段在平面上的射影是一条线段
斜线在平面上的射影是直线
垂线和垂线段在平面上的射影退化成一个点．
（3）为照顾一般习惯说法
课本中定义射影是用"在平面上"
而说点、直线"在平面内"
并非不同．
（4）射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的
1．教学重点：射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念．
2．教学难点：定理的理解及有关直线与平面成角的练习．
3．教学疑点及解决方法：
（1）" 斜线在平面上的射影"是"直线和平面所成的角"的基础；"斜线在平面上的射影"这一小节出现概念较多
为了便于学生理解和记忆
（2）45°．
（3）45°．
2．如图1-83
Rt△ABC的斜边AB在平面M内
AC和BC与M所成的角分别是30°、45°
CD是斜边AB上的高
求CD与M所成的角．
分析：作出CD与平面M所成的角
然后去解含这个角的三角形．
解：作CC1⊥平面M