单调性与极值

函数的单调性与极值

1.函数y=x3+x的递增区间是（）

A．（﹣∞，1）B．（﹣1，1） C．（﹣∞，+∞）D．（1，+∞）

2.若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间[k﹣1，k+1]内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

A．[1，2） B．（1，2） C．D．

3.函数单调递增区间是（）

A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）

4.设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，

不可能正确的是（）

A． B． C．D．

5.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则a+b等于（）

A．2 B．3 C．6 D．9

6.函数f（x）=x3﹣ax+100在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）

A．a＜3 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3

7.函数f（x）=x3+3ax+2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）

A．[1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）

8.函数y=﹣3x+9的零点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

9.如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：

①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；

②x=﹣1是f（x）的极小值点；

③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；

④x=1是f（x）的极大值点．

其中，判断正确的是．（写出所有正确的编号）

10.函数f（x）=x﹣3lnx的单调减区间为．

11.已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是．

12.已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．（1）求y=f（x）的解析式；

（2）求y=f（x）的单调递增区间．

13.已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．

14.已知函数．

（1）求曲线y=f（x）在点处的切线方程；

（2）求f（x）在上的最大值和最小值．

15.已知函数f（x）=ax2+bx+4ln x的极值点为1和2．

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）在定义域上的极大值、极小值．

试卷答案

1.C

2.D

3.C

4.D

5.C

6.C

7.B

8.C

9.②③10.（0，3）

11.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

解：函数f（x）=+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1

由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

12解：（1）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f'（x）=4ax3+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1

切点为（1，﹣1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，﹣1），得a+b+c=﹣1，得a=，b=﹣

f（x）=﹣2+1 （2）f'（x）=10x3﹣9x＞0，﹣＜x＜0，或x＞

13.【解答】（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=﹣4，

即得．所以f′（x）=3x2+4x﹣7=（3x+7）（x﹣1），由f′（x）＜0，得﹣＜x＜1，

所以函数f（x）的单调递减区间（﹣，1）．

（2）由（1）知f（x）=x3+2x2﹣7x，f′（x）=3x2+4x+7=（3x+7）（x﹣1），

令f′（x）=0，解得x1=﹣，x2=1．f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

由上表知，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．故可得f（x）min=f（1）=﹣4，f（x）=f（﹣1）=8．

max

14.【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣=，

∴f′（）=2，f（）=﹣1+ln2，所以切线方程为：y+1﹣ln2=2（x﹣），即：y=2x﹣2+ln2．

（2）f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

∴函数f（x）在[，1]单调递增；在[1，e]单调递减，∴f（x）max=f（1）=0，f（）=ln4﹣3，f（e）=﹣，

∵ln4﹣3＜﹣，∴f（x）min=f（）=ln4﹣3．

15.【解答】解：f′（x）=2ax+b+=，x∈（0，+∞），（1）∵y=f（x）的极值点为1和2，∴2ax2+bx+4=0的两根为1和2，

∴，解得a=1，b=﹣6．

（2）由（1）得：f（x）=x2﹣6x+4lnx，

函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，

令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，

令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，

故f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，

故f（x）极大值=f（1）=﹣5，f（x）极小值=f（2）=﹣8+4ln2．