随机变量及其分布知识点总结典型例题

2-3随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：

要点归纳

一、

1．

一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：

X x 1x 2…x i …x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，

i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；

② i ＝1n

p i ＝1.

(5)常见的分布列：

两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.

X 01P

1－p

p

两点分布又称0－1分布，伯努利分布．

超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝

k )＝C k M C n －

k

N －M C n N

，k ＝0，1，2，…，m ，即

X 0

1

…m

P

…

C 0M C n －

N －M

C n N

C 1M C n －

1

N －M

C n N

C m M C n －

m

N －M

C n

N

其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X

服从超几何分布．二项分布及其应用2．

(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝

P （AB ）

P （A ）

为在事件A 发生的条件下，事件B 发生

的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．

(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；

②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；

(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．

(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为

③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．

(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．

P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概

率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．离散型随机变量的均值与方差

(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为

3．X

x 1

x 2

…

x i

…

x n

P

p 1p 2

…

p i

…

p n

则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的

均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X

是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，

D (aX ＋b )＝a 2D (X )．

(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量

X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．

②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，

方差D (X )＝np (1－p )．

称D (X )＝ i ＝1n

(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D （X ）为

随机变量X 的标准差．

④曲线与x 轴之间的面积为1.

(3)μ和σ对正态曲线的影响：

①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x

轴平移；

②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，

表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

(2)正态曲线的特点：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

1

σ2π

；

(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ

－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．