相关函数性质及谱密度

T
例：已知平稳过程 X (t ) 具有如下功率谱密度： 1 S X (ω ) = 4 2 ω + 5ω + 4 求平稳过程相关函数及平均功率 。 解：直接用傅立叶变换法求相关函数 通常先把 SX (ω ) 化成部分分式后，再求原 函数。 1⎛ 1 1 ⎞ S X (ω ) = ⎜ 2 − 2 ⎟ 3⎝ω + 1 ω + 4⎠
i , j =1
∑ RX (τ i − τ j )g (τ i )g (τ j ) ≥ 0
n
对于平稳过程而言，自相关函数的 非负定性是最本质的，这是因为在理论 上可以证明，任一连续函数，只要有非 负定性，那么该函数必是某平稳过程的 自相关函数。
性质５ 若平稳过程 X ( t ) 满足条件：
X ( t ) = X ( t + T ) 则称它为周期平稳过程
即平稳过程的均方值可以由自相关函 数，令 τ = 0 得到，后面我们将指出RX (0 ) 代表了平稳过程的“平均功率”。
性质２ RX (τ ) 是偶函数，即满足
RX (τ ) = RX (− τ )
这是因为相关函数具有对称性
RX (τ ) = E [ X (t ) X (t + τ )] = E [ X (t + τ ) X (t )] = RX (− τ )
例：设平稳随机过程 X ( t ) 的功率谱密度为： ω2 S X (ω ) = 4 2 ω + 3 ω +2 求 X ( t ) 的均方值 . ω2 2 1 = 2 − 2 解： S X (ω ) = 4 2 ω + 3ω + 2 ω ＋2 ω ＋1
2 又Q ω 2＋2
∴ R X (τ ) = 1
A ~ N ( 0, σ ) , B ~ N ( 0, σ )
(1) 证明 X ( t ) 是平稳过程； (2) 证明 X ( t )具有均值各态历经性； (3) 求 X ( t ) 的平均功率； (4) 求 X ( t ) 的谱密度。
解： (1) E[ X ( t )] = E ( A) cos ω 0 t + E ( B ) sin ω 0 t
的平稳过程 X (t ) ，称为白噪声过程，简 称白噪声。
由于白噪声过程类似于白光的性质，其 能量谱在各种频率上均匀分布，故有 “白” 噪声之称，又由于它的主要统计特性不随时 间的推移而改变，故它是平稳过程。
例题：设 X ( t ) = a cos( ω t + Θ ), 其中 a , ω 为常数 , 如果：( 1 ). Θ ~ U ( 0 , 2π ); 求 X ( t ) 的平均功率 . ( 2 ). Θ ~ U ( 0 , π / 2 );
∫ − ∞ δ ( x )dx
+∞
= 1
δ 函数有一个非常重要的 运算性质：
对任一在 τ = 0 连续的函数 f (τ ) 有 :
∫
所以由性质有：
+∞
−∞
δ (τ ) f (τ )dτ = f ( 0)
一般，若 f (τ ) 在 τ 0 连续，就有
∫
− i ωτ
+∞
−∞
δ (τ − τ 0 ) f (τ )dτ = f (τ 0 )
=0
（常数）
RX ( t , t + τ ) = E {[ A cos ω 0 t + B sin ω 0 t ] ⋅ [ A cos ω 0 ( t + τ ) + B sin ω 0 ( t + τ )]} = E ( A ) cos ω 0 t cos ω 0 ( t + τ )
2
+ E ( B 2 ) sin ω 0 t sin ω 0 ( t + τ ) = σ 2 cos ω 0τ
证：（1）E[Y ( t )] = E[ X ( t )] + E[ X ( t − T )] 因为 X ( t ) 是平稳过程，故 E[ X ( t )]是与 所以 E[Y ( t )] 也是与 t 无关的常数。
t 无关的常数，
RY ( t , t + τ ) = E[Y ( t )Y ( t + τ )]
E[ X (t )] ± 2E[ X (t ) X (t + τ )] + E[ X (t + τ )] ≥ 0
2 2
对于平稳过程 X (t ) ，有
E[ X 2 (t )] = E[ X 2 (t + τ )] = RX (0 )
代入上述不等式得：
2 RX (0 ) ± 2 RX (τ ) ≥ 0
π /2
a2 a2 = + 2 2
T
a2 a2 = E[ + cos 2 (ω t + Θ )] 2 2
2
2 ψX
1 = lim T − > ∞ 2T
∫
−T
1 2 lim E [ X (T )]dt = T − > ∞ 2T
a2 a2 a2 ∫−T [ 2 − π sin( 2ωt )]dt = 2 .
其中 T 为过程的周期.
X ( t )以T为周期 ⇔ RX (τ )以T为周期
事实上
RX (τ + T ) = E [ X (t ) X (t + τ + T )] = E [ X (t ) X (t + τ )] = RX (τ )
11.4 一、定义
平稳随机过程的功率谱密度
设 RX ( τ ) 为平稳过程 X(t) 的相关函数， 称
∴ RX (τ ) ≤ RX (0 )
可见，当 τ = 0 时，平稳过程的 相关函数具有最大值。 对协方差函数，不难得到相同的结论：
C X (τ ) ≤ C X (0 )
或
C X (τ ) ≤ σ
2 X
性质４ RX (τ ) 非负定，即对任意实数 τ 1 ,τ 2 ,L,τ n 和任意实函数 g (τ ) ， 有
S X (ω ) =
∞ ∫− ∞
∞
R X (τ )e
dτ
= ∫ RX (τ )(cos ωτ − i sin ωτ )dτ
−∞
=
∞ 2 ∫0
R X (τ ) cos ωτdτ
所以， S X (ω ) 是 ω 的实的、非负偶函数。
(非负性证明略）
四、 具有下列性质的函数称为 δ 函数
⎧0 , x ≠ 0 δ ( x) = ⎨ ⎩∞ , x = 0
说明1与 2πδ (ω ) 构成一傅立叶变换对。 即
R X (τ
)=
1 ↔ S X (ω ) = 2πδ (ω )
SX (ω )
1
RX (τ )
2πδ (ω )
0
0
τ
ω
其余结果见
P255
，主要是1，5，6，7
五、白噪声 定义：一个均值为零，功率谱密度在整 个频率轴上是正常数：
S X (ω ) = S 0 > 0,− ∞ < ω < +∞
1 1 1 1 解： S X (ω ) = 4 － 2 = [ 2 ] 2 ω + 5ω + 4 3 ω ＋1 ω ＋4
1 又Q ω 2＋1
↔
1 −τ e , 2
1 ω 2＋4
↔
1 −2 τ e 4 (见 P255 1 )
1 1 − τ 1 −2 τ 1 −τ 1 −2 τ ]= e ∴ R X (τ ) = [ e − e − e . 3 2 4 6 12 1 1 1 平均功率为 R X ( 0 ) = − = . 6 12 12
S X (ω ) = ∫ RX ( τ )e
∞ −∞
Δ
− iωτ
dτ
为 X(t ) 的功率谱密度，简称功率谱或谱 密度。
注：
S X (ω ) 和自相关函数 RX (τ )是一傅立
叶变换对。
− i ωτ ⎧ S X (ω ) = ∞ τ )e dτ −∞ R X ( ∫ ⎪ ⎨ 1 ∞ i ωτ ( ) ( ) R τ S ω e dω = ⎪ X −∞ X ∫ 2π ⎩ ——维纳—辛钦公式
依据这个性质，在实际问题中只需计算 或测量 RX (τ ) 在 τ ≥ 0 的值。
性质 3
RX (τ ) ≤ RX (0)
2
证： 由 E[ X (t ) ± X (t + τ )] ≥ 0 即： E[ X 2 (t ) ± 2 X (t ) X (t + τ ) + X 2 (t + τ )] ≥ 0
2 X
平均功率
1 Ψ = RX ( 0) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )dω
注： 称
ΨX
2
1 = 2π
∫
+∞
−∞
S X (ω )d ω
为平稳过程 X(t) 的平均功率的谱展开式 或谱表示式。
三、功率谱密度的性质 性质
S X (ω ) 是
ϖ 的实的、非负偶函数。
− iωτ
因为 R X (τ )为偶函数，所以有
= 2 S X (ω ) + S X (ω )e iωT + S X (ω )e − iωT .
= 2 S X (ω )[1 + cos(ωT )]
例：设 X ( t ) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t
2
( −∞ < t < +∞ ) ,
2
ω 0 为常数，A、B为相互独立的随机变量，且
（仅与 τ 有关）
故 X ( t ) 是平稳过程。
1 (2) < X ( t ) >= lim T → +∞ 2T
∫
T
−T
A cosϖ 0 t + B sinϖ 0 tdt
= 0 = E[ X ( t )]
11.2
平稳过程相关函数性质
前面已经指出，作为随机过程的基本 数字特征是均值函数和相关函数。对平稳 过程而言，由于它的均值函数是常数，所 以基本特征实际就是相关函数。 下面我们专门研究一下平稳过程相关 函数的性质。
{ X ( t ), t ∈ T }是一个平稳过程：
性质１
2 2 ( ) ( ) RX 0 = E[ X t ] = ψ X ≥ 0
二、 称
⎡ 1 lim E ⎢ T → +∞ ⎣ 2T
T
∫
T −T
⎤ X (t )dt ⎥ 为X(t)的平均功率。 ⎦
2
2
1 上式 = lim T − > ∞ 2T
1 T RX (0)dt ∫−T E[ X (t )]dt = Tlim ∫ − > ∞ 2T −T 2 = R X ( 0 ) = ΨX
↔
RX (τ )
S X (ω )
1
0
δ (τ )
1
0
τ
ω
+∞ 1 1 1 i ωτ i ωτ 同理可得： ∫ δ (ω )e dω = e ω =0 = −∞ 2π 2π 2π 1 +∞ iωτ 2π ⋅ δ (ω )e d ω = 1 或 ∫ −∞ 2π
相应地有：
∫
∞ −∞
1 ⋅e − iωτ dτ = 2πδ (ω )
− i ωτ
∫
+∞
−∞
δ (τ ) e
dτ = e
τ =0
=1
(1 )
∫
+∞
−∞
δ (τ ) e
− i ωτ
dτ = e
− i ωτ
τ =0
=1
(1 )
由傅氏反变换，可得 δ函数为： 1 ∞ iωτ δ（ τ）= 1 ⋅ e dω ∫ 2π -∞
这说明：
( 2)
S X (ω ) = 1
R X (τ ) = δ (τ )
↔
e
1 − e 2
− 2τ
2τ
,
1 ω 2＋1
↔
1 −τ e 2
2
1 −τ − e . 2
1 2 − 1 . 2
2 于是 X ( t ) 的均方值为： Ψ X = R X (0) =
例题：设 X ( t )是平稳过程，谱密度为 S X (ω )， 已知： Y ( t ) = X ( t ) + X ( t − T ) 试证： (1) Y ( t )是平稳过程； ( 2) Y ( t ) 的谱密度为： SY (ω ) = 2 S X (ω )(1 + cos ωT ).
∞ −∞
∞
∞
−∞
RY (τ )e − iωτ dτ
= ∫ [ 2 R X (τ ) + R X (τ + T ) + R X (τ − T )]e − iωτ dτ
= ∫ 2 R X (τ )e
−∞ − iωτ
dτ + ∫
∞
−∞
R X (τ + T )e
− iωτ
dτ + ∫
∞Baidu Nhomakorabea
−∞
R X (τ − T )e − iωτ dτ
= E {[ X ( t ) + X ( t − T )] ⋅ [ X ( t + τ ) + X ( t + τ − T )]}
RY ( t , t + τ ) 仅与 τ 有关。
= 2 RX (τ ) + RX (τ + T ) + RX (τ − T )
所以 Y ( t ) 是平稳过程 .
( 2) S Y (ω ) = ∫
a2 解： (1 ) X ( t )是平稳过程， R X (τ ) = cos( ωτ ) 2 2 a 2 所以 X ( t ) 的平均功率为： ψ X = R X (0) = . 2 2 2 2 ( 2 ) Q E [ X ( t )] = E [ a cos (ω t + Θ ) ]
a2 a2 ∫0 cos 2(ω t + θ ) ⋅ π d θ = 2 − π sin( 2ω t ) ( X ( t )不是平稳过程 ) 所以 X ( t ) 的平均功率为：