二次函数与一元二次方程2

观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 y=x²+x-2 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗?
(1)y=x2+x-2
(2)y=x2-6x+9
(3)y=x2-x+1
y y=x²-x+1
y=x²-6x+9 x
（1）设y=0得x2+x-2=0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y △＜0
△=0 △＞0
O
X
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
b2-4ac＜0
二次函数
一元二次方程
y=ax2+bx+c 图象（a>0)
（a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个
交点 ( b ,0) 2a
y
O
x y
O
x
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解源自文库=x1，x=x2
x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公
y
共点，公共点的横坐标分别是1和 -2，当x取公共的的横坐标的值时， y=x²-x+1
函数的值为0.
y=x²+x-2
y=x²-6x+9
（2）设y=0得x2-6x+9=0
x
x1=x2=3
（-2, 0） （1,0）（3,0）
∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，
有两个相等的
解 x1=x2=
b 2a
y
与x轴没有 交点
O
x
没有实数根
课堂练习
1函、数若y=方a程x2a+x2b+x+bxc+的c图=象0的与根x轴为交x1点=-坐2标和是x2(=-23,，0则)、二(次3,0。) 2、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ c ）
A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D、画
。
• 3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数， 且a≠0)图像是一条 抛物线，它与x轴的交
点有几种可能的情况？
提出问题
• 一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数 y=kx+b(k≠0),当一次函数中的函数值y=0时, 一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程 kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0 的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函 数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一 定的关系呢?
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1, x2,则抛 物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
小结：
本节课你有什么收获？
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
有两个交点
只有一个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相 等的实数根
有两个相等 的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判
别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
22.4二次函数与 一元二次方程
复习
• 1、一元二次方程-5x2+40x=0的根
为： x1=0,x2=8 。
• 2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的
判别式△ =b2-4ac 。 当△﹥0方程根的情
况是：有两个不相等的实数根 ；当△=0
时，方有程两个相等的实数根
； 当△﹤0
时，方没程有实数根
出图象后才能说明
3、抛物线y=x2-4x+4与x轴有1 个交点，坐标
是 (2,0)
。
4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种 情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二 次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点 的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次 方程ax2+bx+c=0的根。
公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐
标的值时，函数的值为0.
（3）设y=0得x2-x+1=0
∵b2-4ac=（-1）2- 4×1×1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?