Chapter11 搜索树-红黑树-B-树

1、索引顺序访问方法
索引顺序表：在建立顺序表的同时，建立一个索引项， 包括两项：关键字项和指针项。索引表按关键字有序， 顺序表则为分块有序。 顺序表
0 17 1 08 2 21 3 19 4 14 5 31 6 33 7 22 8 25 9 40 10 52 11 61 12 78 13 46
…… ……
它是在1972年由鲁道夫· 贝尔发明的，他称之为“对称二叉 B树”，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的； 特点： 利用对树中的结点 “红黑着色”的要求，降低了平衡性 的条件，达到局部平衡， 有着良好的最坏情况运行时间，它可以在O(logn)时间内 做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。
适用于外部字典的ISAM
数据组织：可用的磁盘空间被划分为很多块，I/O 的单位；字典元素以升序存储在块中 顺序访问：依次输入各个块，在每个块中按升序搜 索元素。如果每个块包含 m个元素，则搜索每个元 素所需要的磁盘访问次数为 1/m 随机访问：采用索引机制，驻留内存；索引中包含 的关键值数量与块数相同，包含每个块中的最大关 键值；
索引顺序访问-ISAM（续2）
跨磁盘的字典访问方法：首先需在磁盘索引中进 行搜索以判断所需要的记录可能存储在哪个磁盘 上；找到磁盘后，取出相应磁盘的块索引，并在 其中搜索所需要的的块；块被取出后，在其内部 搜索所需要的记录；
优点：提供外部字典的较好的顺序和随机访问；
缺点：插入/删除时，在块之间移动元素的代价高； 可采用预留空间的方法减少移动。
数据结构与算法
2010年秋季
Chapter11 搜索树
内容提要
11.1 二叉搜索树 11.2 AVL树 11.3 红黑树 11.4 B-树 11.5 应用
补充：扩充二叉树
增加了外部节点，用于替代树中的空子树。
用外部节点替换每一个空指针。
1、红黑树定义
Red-Black tree, 简称RB-Tree；
2、红黑树性质
结点的阶(Rank)：平衡性指标 从该结点到其子树中任意外部结点的任一条路径上的黑 色结点的数量 不包括该结点本身，包括叶结点！ 外部结点的阶为零 根结点的阶：树的阶
R=2
R=2 R=1 R=1
R=1
红黑树性质
设r是红黑树的阶，h是红黑树的高 度（不包括外部结点），n是内部 节点的个数 性质1：r ≤ h ≤ 2r 性质2：n ≥ 2r-1，最少是满二叉 树 性质3：h ≤ 2log2(n+1) 结论： 红黑树搜索、插入、删除的时间 复杂度为O(logn)
结点删除后，问题是： 解决“双黑”结点现象 讨论前提：双黑结点是待删结点的左子节点（右子节点对称 处理即可） 有三种情况： 双黑结点的兄弟结点是黑色，且子结点有红色 双黑结点的兄弟结点是黑色，且有两个黑色子结点 双黑结点的兄弟结点是红色
情况1：第一种
双黑结点与其红色侄子“八字形外撇” 解决方法：单旋转 将兄弟结点C提上去 C继承原来父节点B的颜色 把B着为黑色，D着为黑色，其他颜色不变
• 以c0为根的子树中的元素关键值小于k1，
• 以cp为根的子树中的元素关键值小于kp， • 并且以ci为根的子树中的元素关键值大于ki而小于ki+1，其中 1≤i≤p
七叉树示例
根包含2个元素和3个子女 中间的子女有6个元素和7个孩子，其中6个孩子是外部节点
红黑树的应用
典型的用途是：关联数组；
C++ STL中的关联式容器：集合set、多重集合multiset、映 射map、多重映射multimap等均采用了红黑树的变体；
set<int> s; map<int, string>s
在Linux内核中，用于组织虚拟区间的数据结构也是红黑树； 代码参见： • • linux/include/linux/rbtree.h linux/lib/rbtree.c
换色调整示例
插入4：首先调用BST的插入算法，
LLr型 父祖换色
换色调整示例（1）
LRb型 旋转
换色调整示例（2）
插入代码描述
使用BST插入算法，插入新结点z 把z标记为红色 While doubleRed(z) if isBlack(sibling(parent(z))) z←restructure(z) return else {sibling(parent(z) is red } z←recolor(z)
80
直接删除，把该 结点变为叶结点
结点删除示例（2）
删除80
不平衡
80
情况3：兄弟结点是红色
结点删除示例（3）
情况3：兄弟结点是红色
转换为情况1
结点删除示例（4）
情况1：兄弟结点是黑色，且有红色子结点 同边顺：将D提上去成为子根结点，继承原子 根B的颜色，B着为黑色
红黑树插入、删除算法总结
索引ຫໍສະໝຸດ Baidu序查找的过程
索引表 22 48 86 1 7 13
查38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 22 12 13 8 9 20 33 42 44 38 24 48 60 58 74 57 86 53
ASLbs Lb Lw 其中：Lb — —查找索引表确定所在 块的平均查找长度 Lw — —在块中查找元素的平 均查找长度
红黑树的定义
平衡的扩充二叉搜索树，满足下面条件：
颜色特征：每个结点为“黑色”或“红色”；
根特征：根结点永远是“黑色”的； 外部特征：扩充外部叶结点都是空的“黑色”结点； 内部特征：“红色”结点的两个子结点都是“黑色”的， 即：不允许两个连续的红色结点； 深度特征：对于每个结点，从该结点到其所有子孙叶结点 的路径中所包含的黑色结点数量必须相同。
单旋转调整
双黑节点：X
红色侄子：D
情况1：第二种
双黑结点与其红色侄子“同边顺” 解决方法：双旋转 将D结点旋转为C结点的父结点，转为情况1(a) 再将D提上去作为根结点，继承原来子根B的颜色，B 着为黑色
双旋转调整
双黑节点：X
红色侄子：D
情况2
双黑节点兄弟结点是黑色，且有两个黑色子结点 解决方法：父祖换色、继续检查 把C着为红色，B着为黑色 B原为红色：黑-红-黑 -黑 -红 若B原为红色，则算法结束 B原为黑色：红-黑-黑 否则，对B继续作“双黑”调整 -黑 -红
O(logn)
O(1) O(logn)
红黑树插入算 法的时间复杂 度O(logn)
4、红黑树的删除
先调用BST的删除算法 如果被删除的结点有一个或两个外部叶结点， 则直接删除，算法结束 如果有两个非叶子结点，则在右子树中寻找最 小值结点（即其后续结点），与该结点进行值 交换（颜色不变） 然后调用删除结点算法，直到转换为有一个或 两个外部叶结点的情况，再进行删除
红黑树示例
树结点的结构
Key Data Color
由指针颜色可得到节点颜色
parent lchild rchild
红黑树结点定义示例
typedef int key_t; typedef int data_t; typedef enum color_t { RED = 0, BLACK = 1 }color_t;
typedef struct rb_node_t { key_t key; data_t data; color_t color; struct rb_node_t *parent; struct rb_node_t *left; struct rb_node_t *right, }rb_node_t;
新增节点X
针对XYb的调整：旋转
四种情况：LLb、RRb 、LRb、RLb
取双红节点、祖父节点这 三者的中位数作为新的子 根节点，并且着为黑色
原则：旋转中保持 BST的中序特性
针对XYr的调整：换色
四种情况：LLr、RRr 、LRr、RLr 以LLr为例：父祖换色
X：新增节点（红色） A：父节点（红色） B：祖父节点（黑色） C：叔父节点（红色）
其平均和最差检索时间复杂度O(log2n) 为了恢复红黑树的平衡，需要自底向根进行调整 红黑树的结点组成 数据、颜色、左指针、右指针、父指针 如不使用父指针，也可以使用堆栈， 保存从根结点到新插入或删除结点的路径上遇 到的每个结点，方便回溯
红黑树 VS. AVL树
AVL树要求完全平衡 红黑树只要求局部平衡：懒汉平衡 时间复杂度和AVL相同，但统计性能比AVL树 更高 任何不平衡都会在三次旋转之内解决 增、删算法性能好、易于实现 减少了开销、性能几乎没有下降
引入高度数索引树的原因
二叉搜索树比较适合于内存中组织较小的索引。对 于存放在外存中的较大的文件系统，用二叉搜索树 来组织索引就不太合适。若以结点作为内外存交换 的单位，则在查找过程中需对外存进行O(logn)次 访问，显然很费时。 解决方法：引入高度数搜索树
2、m叉搜索树
定义：m叉搜索树可以是一棵空树，如果非空，它必须满 足以下特征： 1）每个内部节点最多可以有m个子女及1～m-1个元素 （外部节点不含元素和子女） 2）每个含p个元素的节点，有p+1个子女 3）设k1…kp是p个元素的关键值，且k1<…<kp；c0…cp 是节点的p+1个孩子。则：
黑
红
BC父祖换色
情况3
双黑节点兄弟结点是红色 解决方法：单旋转转换为情况1或情况2
需要对X继续进行 双黑处理
结点删除示例
删除90
情况2： 兄弟结点是黑色， 且有两个黑子结点
当前结点变为80 的右黑结点，把 C着为红色，B着 为黑色
结点删除示例（1）
删除70
待删除结点是红 色结点，且有两 个外部结点
删除节点算法
待删除结点有两个外部结点， 直接把该结点变为叶结点 若该结点是红色，则算法结束 若该结点是黑色，删除后红黑树不平衡！“双黑” 待删除结点有一个外部结点 可知：如果该节点是黑色，其非空子节点为红色 双黑 将其子节点提升到该结点位置，颜色变黑
删除8
不平衡
双黑结点调整算法
索引顺序访问-ISAM（续1）
访问方法：对关键值为 k 的元素作一次随机访问， 首先只要寻找包含相应元素的块的索引，然后将 相应的块从磁盘中取出并在其中寻找需要的元素； 跨磁盘的字典存储模式：元素按升序被分配到各 个磁盘以及每个磁盘的不同块中；每个磁盘都有 一个块索引，其中保留了该磁盘每个块中的最大 关键值；另有一个磁盘索引，保存每个磁盘中的 最大关键值，这个索引一般驻留在内存中。
本节小结
红黑树的定义 红黑树的性质 红黑树的结点插入 换色 旋转或重构：双红调整 红黑树的结点删除 重着色 旋转或重构 双黑结点调整
章节
11.1 二叉搜索树 11.2 AVL树 11.3 红黑树 11.4 B-树 11.5 应用
内容提要
ISAM-索引顺序访问方法 m叉搜索树 定义 操作：搜索、插入、删除、高度 m序B-树 定义 操作：高度、搜索、插入、删除 B+树 与 B*树
索引表
21 0
40 5
78 10
……
索引顺序表 = 索引 + 顺序表
索引顺序查找：分块查找
查找过程：将表分成几块，块内无序，块间有序； 先确定待查记录所在块，再在块内查找 适用条件：分块有序表 算法实现： 用数组存放待查记录,每个数据元素至少含有关 键字域 建立索引表，每个索引表结点含有最大关键字域 和指向本块第一个结点的指针
3、红黑树的插入
先调用BST的插入算法 把新结点着色为红色 若父节点是黑色，则算法结束 否则，进行“双红调整” 【叔父节点】指一个节点的父节点的兄弟节点 插入4
双红调整的情况
叔父节点是黑色：XYb， 需要旋转或重构 每个结点的阶保持原值，调整完成 叔父节点是红色：XYr， 需要换色 换色后继续检查平衡！