第七章 两种正交变换---沃尔什变换和离散余弦变换_01

第七章 两种正交变换

--- 沃尔什变换与离散余弦变换

信号作为信号空间的一个向量，可以用一组正交基来表示。任何正交而完备的函数族可以用作这样

的正交基。正弦、余弦函数各自都是正交函数。但它们都是不完备的。偶对称信号可以用余弦函数族表出；而奇对称信号只包含正弦分量。一般信号可以分解为偶对称和奇对称分量。所以，必须同时用余弦、正弦函数族才能完整地表示一般信号。复指数函数族通常被用作正交基来表示、分析信号的频谱，因为复指数函数既包含余弦分量，又包含正弦分量。换句话说，复指数函数族是正交的，完备的。它所张成的空间便是我们通常所说的频域。在实践中，除了付里叶变换大家族外，还有许多完备正交函数系可以代替复指数函数族来表示信号。在这领域，人们不断地进行探索。将无限维空间的时域信号用所选定的正交基来表示，这是一种正交变换。本章介绍付里叶变换之外的两种最常见的正交变换，即沃尔什变换和离散余弦变换，说明它们的特点和快速算法。

7.1 沃尔什变换

7.1.1 概述

基于复指数函数系（正弦-余弦函数系）的付里叶变换方法是目前信号与系统分析中的主要工具，其原因之一是这类信号易于获得，易于变换，便于检测，也容易理解。在电信技术发展史上，正弦-余弦信号以及付里叶变换方法首先得到广泛应用。但非正弦信号的研究与应用也一直受到重视。

20世纪60年代末至70年代初，数字技术与计算机科学迅速发展，利用开关元件产生和处理数字信号十分简便易行。大规模集成电路的迅猛发展提供了体积小、重量轻、可靠性很高的数字硬件。在这种背景下，人们对非正弦信号的研究和应用又再度重视起来。事实上，正弦-余弦函数系仅仅是完备正交函数系的一种。它作为变换核，在付里叶变换过程中要进行复数乘法、加法运算，其量化误差是累积的。因此，寻找其它更好的完备正交函数系一直是人们的追求。在这种探索中，应该记住

● 1910年，匈牙利数学家哈尔（A.Haar ）提出哈尔函数，这是一组完备的正交函数。

● 1922年，德国数学家拉德马赫（H.Rademacher ）提出一种只取两个数值的正交函数，称为拉 德马赫函数。它不是完备的正交函数系，但可以用来间接地表示沃尔什函数。 ●

1923年，美国数学家沃尔什（J.L.Walsh ）提出沃尔什函数（Walsh function ），这是一种完备的

正交函数系。

以上几种非正弦的正交函数各有不同特点，相互之间有着密切的联系。其中，沃尔什函数应用较多。 这种正交函数在搁置了近半个世纪后，到了20世纪70年代才得到广泛的应用，并有进一步的发展。

类似于人们熟知的付里叶变换，作为完备的正交函数系，沃尔什级数同样可以将给定的信号分解成若干个沃尔什函数，或者用有限个沃尔什函数去逼近一个信号。这种变换有如下显著特点：

● 它有类似于FFT 的快速算法。

●

在快速沃尔什变换中，变换核只取+1和-1这两个值，故变换过程中只需要进行实数的加、减运

算，没有乘、除运算，从而使变换速度快，精度高，并且可以使用比较简单的专用硬件。

下面将介绍沃尔什函数的定义方法，说明沃尔什矩阵和快速沃尔什变换，举出实例说明沃尔什变换的应用。

7.1.2 定义

由于历史上的原因，有几种方法可以定义沃尔什函数。这里只介绍用符号函数定义的沃尔什函数表示方法，其中的表达式如下：

∏-=<≤=1

w 1)(0 )]2,sgn[cos(),(Wal p r r t t k t k π （7.1.1）

为了与其它编号的沃尔什函数相区别，上式以下标 ’w ’ 标识的函数),(Wal w t k ，称为沃尔什编号的沃尔什函数。式中，k ─ 沃尔什函数编号，为正整数。k 的二进制表示式为

r p r r k k 21

∑-==

（7.1.2）

其中，r k 为0或1 -----

k 的二进制表示式中第r 位二进码的值；

p ─ k 的二进制表示式的位数； sgn ─ 符号函数，

⎩

⎨

⎧<->=0 ,1 0

,1)

sgn(x x x （7.1.3） 式（7.1.1）中，沃尔什函数定义于半开区间10<≤t

。对于确定的编号k ，),(Wal t k 是变量t 的

函数。应该指出，变量t 未必代表时间，它可以是任何一个量，并且最大值可以归一化为1。

在定义区间10<≤t

之外，将原沃尔什函数波形周期性地重复，就使定义延拓到整个t 轴上。这样，

),(Wal w t k 就是一个以1为周期的函数，即

),(Wal )1,(Wal w w t k t k =± （7.1.4）

任何正交变换都有一个正交矩阵与之相应。在离散付里叶变换中，矩阵的每一个行向量由频率为直流、基波以及各次谐波的复指数函数的采样点组成。在离散沃尔什变换中，也要用到N N ⨯变换矩阵。这个正交矩阵的每个行向量由互相正交的沃尔什函数的采样点组成。现在以8=N

为例，说明怎样得到沃尔什

变换的正交矩阵。为此，要先按照式（7.1.1）画出前8个沃尔什函数波形。下面举例说明怎样画出8

=N 时的沃尔什函数),5(Wal w t 。

对于),5(Wal w t ，5=k 。k 的二进制表示式是

0122120215⨯+⨯+⨯==k

所以，k 的二进码是

1,0,1012===k k k 。因为k 用3位二进码表示，故3=p 。

把以上数值代入式（7.1.2），得

)]2,[cos(sgn ),5(Wal 2

w t k t r r π∏==

)]2sgn[cos(*)]2sgn[cos(*)]2sgn[cos(00112t k t k t k r πππ=

)]sgn[cos(*)]4sgn[cos(t t ππ= （7.1.5）

上式中，t 在区间)1,0[取值。

同理，可以写出其它沃尔什函数表示式。这样就得到8=N

时的8个沃尔什函数表示式如下：