齿轮系统非线性动力学微分方程的渐进法

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【 摘
要】 利用渐进法研 究了 一类考虑时变啮合刚度和间隙的齿轮 系统的非线性动力学微分方程，；
÷建立了 模型的解的统一 这类 形式。 通过计算 表明， 渐进法具 有良 通用 尤 好的 性， 其适用于 求解大 型非线性 ÷ ：微分方 程组。 后给出了 最 渐进法的计算结 并且 果， 验证能 与数值计算结果很 好地吻合。 ； ： 关键词： 渐进法； 齿轮系 非线性动力学微分方程 统； ； ； 【ｂｔ ｃ】 ｏ—ｎ ｒｙａｉ ｇａｓ ｔ ｓｓｅ ａ ｈｄ ａ ｄ ｎｎ ｅｅｔ ｅ ｏ，ｈｒ Ａ ｓａｔ＾ｎｎｌｅ ｎ ｃｏ ｅ ｓｍ ｓ ｃｅ ｓ ｃｍｎ ｌ ｔ ｄ ｅ ｒ ｉａｄ ｍ ｓｆ ｒ ｙｅ ｉｒｅ ｒ ｂ ｅ ｏ Ｉ ｒ ａｍ ｈ ｗ ｅ÷
工具。 目前 摄动 方法 主 要有 直 接展 开法 、ｉｄｔ ｔＰ ｉｃｒ 法 、 Ｌｎ ｓ ｄ— ｏ ａ ｅ ｎ ｅ 重 之 间 的差值 为 ｘ ｔ， （）则有
＝ ｄ
正规化方法、 多尺度方法 、 参数变值法 、 渐进法等。对于强非线性 振动系统的研究 已取得 了一定 的成果 ，如 Ｂ ｎｏ 等利用相平面 ｅｔｎ
Ｌ Ｕ ｉ ｍｉ Ｗ Ｕ ｏ ｌｎ Ｉ Ｇｕ — ｎ， Ｂａ — ｉ
（ ｉｎｉ Ｐ ｌｔ ｈ ｉ Ｕ ｉ ｒ ｔ，ｉ ｊ ０ １ ０ Ｃ ｉａ Ｔａｊ ｏ ｅ ｎｃ ｎｖ ｓ ｙＴａ ｉ ３ ０ ６ ， ｈｎ ） ｎ ｙｃ ｅｉ ｎｎ
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刘贵敏 武宝林 （ 天津工业 大学 机械 电子 学院 ， 天津 ３ ０ ６ ） ０ １ ０
Ｉｃ ｅ ｎ ｒ ｍｅ ｔ ｌ ｎ ａ ｔ ｏ ｏ ｏｖ ｎ ｙ ａ ｃ ｉｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉｎ ｆ ｅ ｒ ｙ ｔ ｍｓ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒ ｌｉｇ ｄ ｎ ｍｉｓ ｄｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｓｏ ａ ｓ ｅ ｓ ｆ ａ ｅ ｏ ｇ ｓ
÷
；
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中图分 类号 ：Ｈ１ ２ 文献标 识码 ： Ｔ ３． ４ Ａ
１ 引言
由于描述齿轮系统动力学特性的非线性动力学微分方程非
轮的角位移 ；ｐｔ、 ｆ一 主、 Ｔ（） （） 被动齿轮所承受的外力矩 ，Ｎ・ ； （ ｍ）
ｅ ｈ ｅｔｓｖａｋｄｏ ｒｔ！ｑ ｔ ｓｓｃ ｌｏｓｖｇａｅｏ ｌ ａｄ ｍｔｄｒ ｅｓ ｌ ｌｉｓ ｄ ｅｉｅ ａｏ ， ｅａ ｆ ｌｎｌｇｎ —ｎ ！ ０ｃ ｕｄｏｏｅ ｎ 仇ｂ ｌ ｆ ｎａ ｕｉ ｅ ｉｙ ｒｏｉ ｎｉｒ ｎ ｐｌ ｒ ｅ
：ｆ ｒｎｉ ｑ ａｉ ｓ Ｆｎ ｌ ｉｇｖ ｃ ｌ ｉｎｒｓｌｏ Ｉｃｅ ｅ ｔ ｅ ｏ ，ｎ ｅｉ ｅｃ ｕａ ｏ 一 ； ｅｅ ｔ ｌ ｕ ｏ ． ｉ ｙ ｔ ｉ ａｃ ｕａ ｏ ｅｕｔ ｎｒｍ ｎａ ｍ ｔ ｄ ａ ｄｖ ｒｙｔ ￣ｃ ｌ ｉ ｒ ａｅ ｔ ｎ ｌ ａ ｅ ａ ｔ ｌ ｆ ｌ ｈ ｆ ｈ ｔ ｎｅ
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？ Ｋｅ ｒ ｓＩｃ ｅ ｎａ ｔｏ ； ａ ｓｅ ； ｎ ｌ ｅ ｒ ｙ ａ ｃｄｆ ｒｎｉｌ ｑ ａｉｎ ｙｗｏｄ ：ｎ ｒｍｅ ｔｌ ｈ ｄ Ｇｅｒｓ ｔｍｓＮｏ －ｉ ａ ｎ ｍｉ ｉｅ ｅ ｔ ｕ ｔ ｍｅ ｙ ｎ ｄ ａｅ ｏ
？ｔｅｔ ｅ ｖ ｒｉ ｉｎ ｓ ａ ｄｂｃ ｌ ｈａｅｉｃ ｄ ｄｎ ｍ ｒ ａ ｃ ｃ ｌ ｏ ｅｕｔ ｐｏｅ ａ Ｉｃｅ ｎａ ？ ｈ ｍ － ａｙｎ ｓ ｅｓ ｎ ａｋａ ｎｌ ｅ ．ｕ ｅｉ ａ ｕ ｎｒｓ ｌ ｒｖｄｔ ｔ ｎ ｒｍ ｔ ｉ ｇｔ ｆ ｓ ｒ ｕ ｃ ｌ ￣ｉ ｌ ｓ ｈ ｅ ｌ
ｅ一
啮合轮齿的静态传递误差 ，ｎ） 一齿轮副的时变啮合刚 （１； ） （
５
常复杂 ， 直接求得其精确解是不可能的 ， 因此对复杂 的高阶非线 度， ／）可展成 ５ （ｍ ， Ｎ 次谐波的形式， ￣） ｚ Ａ ｏｑ ｔ ） 即ｋ ｔ－＋ ｓ￣４ ； （－ ｋ ｃ ０
Ｊ＝ １
性动力学方程只能求得高精度的数值解。 但是数值解法并不能取 ６ —存在齿侧间隙时 ， （） 在齿轮动态啮合力作用下的轮齿变形描 代近似解析解法。 摄动方法是研究非线性复杂微分方程最主要的 述函数 ， 即令齿轮系统 的动态传递误差 Ｘ（） ｄｔ 与静态传递误差 ｅｔ （）
机 械 设 计 与 制 造
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文章 编 号 ：０ １ ３９ （０ ０ ０ — ０ ６ ０ １０ — ９７ ２ １ ）２ ０ ２ — ２
Ｍ ａ ｈ ｎｅｙ Ｄｅ ｉｎ ｃ ｉ ｒ ｓｇ
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Ｍ ａ ｕ ａ ｔ ｒ ｎ ｆｃ ｕ ｅ
第 ２ 期 ２１ ０ ０年 ２月
齿轮 系统非线性动力学微分方程的渐进法 木