相似三角形汇总3 一线三角相似问题

相似三角形汇总

第三部分一线三角相似问题

重点:“一线三等角”图形中判定三角形相似及两类三个三角形两两相似的分类讨论，

难点:在根据“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置，构造相似三角形. 【知识点整理】

（一线三等角型）

（一线三直角型）

【经典例题】

1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°

（1）求证：△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

2. 如图，在正方形格子（正方形小格子的边长为1）中有一个矩形ABCD ，在AB 上，找出点E ，联结

DE 、CE ，使得△DEC 与△DAE 及△EBC 都相似.

3. 如图，在矩形ABCD 中，点M 在AD 上，将△DMC 沿MC 翻折，点D 恰好落在AB 边的E 点位置，若

△MEC 与△AME 相似，求：矩形相邻两边AD 与AB 的比.

E A

C B D

M

4. 如图，已知正方形ABCD ，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A 重合，并将三角尺绕点旋转，当

M 点旋转到BC 的垂直平分线PQ 上时，连接ON ，若ON=8，求MQ 的长.

5. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=3,BC=4,O 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，PQ ⊥OP 交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ.

6. 正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），

且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，求出线段BP 的长.

7. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，CA 是⊙O 的切线， AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，

交CD 于点F ．（1）求证：CE=CF ；（2）若CD ∶BC=3：5 ，求DF ∶CF 的值．

8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，联结BD ，过D 作DE ⊥BD 交AB 边于点E ，若 BC=4，

AC=8，△BDE ∽△BCD ，求CD.

84E C

A B

D 9. （难度）如图，在Rt △ABCD 中，∠C=90°，AD=5，AB=8，BC=9，点

E 是BC 边上一点，且∠DEF=60°，

若△DEF 与△BEF 相似，求BE 长.

589F

C D

A

B

E

10. （难度）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=BC=6，AD=3．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点

作∠EMF=∠B ，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．

（1）求证：△MEF ∽△BEM ； （2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；

（3）若EF CD ，求BE 的长．

11.矩形 ABCD 一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得点 B 落在 CD 边上的点 P 处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边 AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接 BP．动点M在线段AP上（不

与点P、A重合），动点N在线段 AB 的延长线上，且BN=PM，连接 MN 交PB于点F，

作ME⊥BP于点 E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若

不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

12.如图1，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形ABCD 的对角线BD上滑动，并使其一条直

角边始终经过点 A，另一条直角边与 BC 相交于点E．

（1）求证：PA=PE；

（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图 2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；

（3）在（2）的条件下，当 P 滑动到 BD 的延长线上时（如图 3），请你直接写出 AP：PE 的比值．

13.已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE得到

△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ．

（1）如图，当 BP=1.5 时，求CQ 的长；

（2）如图，当点 G 在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE 与△FHG相似，求BP的长．

14.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点 P从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm

的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0≤t≤2），连接 PQ．

（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求 t 的值；

（2）连接 AQ、CP，若 AQ⊥CP，求 t 的值；

（3）M 是 PQ 的中点，请直接写出点 M 运动路线的长．

15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=9，AD=12．动点 E 从点 B 出发，沿线段 BC（不包括端点 B、C）

以每秒 2 个单位长度的速度，匀速向点 C 运动；动点 F 从点 C 出发，沿线段 CD（不包括端点 C、D）以每秒 1 个单位长度的速度，匀速向点 D 运动；点 E、F 同时出发，同时停止．连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 M，再把 AM 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 N，连接 MN．设运动时间为 t 秒．

（1）当 t 为何值时，△ABE 与△ECF 相似？

（2）在点 E 运动的过程中是否存在某个时刻使 AE⊥AN？若存在请求出 t 的值，若不存在请说明理由；（3）在运动的过程中，△AMN 的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．