高考数学 常见的几个函数不等式及其应用

常见的几个函数不等式及其应用

一、函数不等式的介绍

（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x x

x

①

证明：令x x x f -+=)1ln()(，则x

x

x x f +-=

-+='1111)(. 当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ， 所以)1()1ln(->≤+x x x .

令x x

x x g +-+=1)1ln()(，则2

2)

1()1()1(11)(x x x x x x x g +=+-+-+='. 当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，

)1)(1ln(1->+≤+∴x x x

x . 综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x x

x

.

变式：)0(1ln >-≤x x x ， ②

)0(11

ln >≥+x x x . ③

（2）)1)(1

(21ln ≥-≤x x x x ④

)10)(1

(21ln ≤<-≥x x

x x ⑤

证明：令)1

(21ln )(x x x x f --=，则02)1()11(211)(22≤--=+-='x x x

x x f .

所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.

所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤

变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x x

x ⑥

（3）)1(1)

1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦

)10(1

)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧

证明：令1)

1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(2

2≥+-=

'x x x x f . 所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.

当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤

（4）)10(2

1

1)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨

证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则2

21

)1(ln )1(1)(x

x x x f +++-='，

而)

1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(2

2222

2

x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-

+='， 由⑥式)0(1

)1ln(≥+≤+x x x

x 知，0)(<'x f ，

所以)(x f 在10≤

ln 1

)1()(-=≥f x f .

由⑦式)1(1

)

1(2ln ≥+-≥x x x x 知

211)1ln(1<-+x x . 综上可知，不等式⑨成立.

（5）)0(1

)

211()1ln(≥++≤

+x x x x x ⑩ 证明：令1)

211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(2

2≤+-=

'x x x f . 故0)0()(=≤f x f . 所以，不等式⑩成立.

变式：)0)(1

1

1(21)11ln(>++≤+x x x x ⑪

利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式： （6）贝努尼不等式：当1->x 时，

)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ， ⑫

)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬

（7）)0(2

1)1ln(2

≥-

≥+x x x x ⑭ 二、常见的函数不等的作用

利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。

（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值

例1 （2008年湖南卷，理21）已知函数x

x x x f +-+=1)1(ln )(22

.

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若不等式e )1

1(≤++αn n

对任意的*∈N n 都成立，求α的最大值.

解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得

2

2

)1()1(211)1ln(2)(x x x x x x x f +-+-+⋅+='

)]11

1(21)1[ln(12x

x x x +-+-++=.

由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ，⑤)10)(1

(21ln ≤<-≥x x

x x 可知：

当0≥x 时，11≥+x ，有)11

1(21)1ln(x

x x +-+≤+，0)(≤'x f ；

当01≤<-x 时，110≤+

1(21)1ln(x

x x +-+≥+，0)(≥'x f .

因此，当0≥x 时，)(x f 为减函数；当01≤<-x 时，)(x f 为增函数.