高数A+B(一)第三章大作业答案

第三章 中值定理与导数应用

一、选择题 1、C 2、C 3、D 4、B 5、A 6、B

二、填空题

1、1

2、)2,2(2-e

3、1,0,1==-=x x x ；0=x

4、00==x ,y

5、()2,-∞-

三、计算题

1、解：2

12cos lim

)

(arcsin 1sin lim 0

2

=

-=--→→x

x

e x x e x

x x

x .

2、解：()

x

x x cos 0

2

tan lim

-→

π

=()

x x x e

tan ln cos lim

2

-→

π

=()

x

x x e

sec tan ln lim

2

-→

π

=12

02

sin

cos lim

=-→

x

x

x e

π

3、解：22

2arctan 2lim x x x ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-∞→π

=2

12414lim

2arctan 2

lim

3

4

2

2

=

-+-=--∞

→-∞

→x

x

x x

x

x x π

.

4、解：])

1ln(11[

lim 0

x x

x +-

→ )1ln()1ln(lim

x x x x x +-+=→

2

)1l n (lim

x

x

x x -+=→x

x

x

x 211

l i m 0-+=→

2

14221lim

221lim 0

2

20

-

=+--=+--=→→x

x x

x x x x x

5、解：令

t x

=2

1，则0→x 时，+∞→t .

0!50lim

50lim

lim

lim 49

50100

10

2

=====+∞

→+∞

→+∞

→-→t

t t

t t

t x

x e

e

t e

t

x

e .

四、证明题

1、证明：令F （x ）=xf (x ),由题意，显然F (x )在[a,b ]连续，在（a,b ）可导

由拉格朗日中值定理得，至少存在一点ξ使 )(')()

()())((')()(ξξξξf f a

b a af b bf a b F a F b F +=---=-即

2、证明：存在性：设()15

-+=x x x f ，显然()x f 在任意区间连续，又()010<-=f ，()011>=f ，

由零点定理，方程015

=-+x x 在)1,(0内至少有一根，即至少有一正根.

唯一性：因()014>+='x x f ，()x f 在()+∞∞-,内单增，故015

=-+x x 至多有一正根.

3、证明：ln )(2

t t f =令.],[)(理的条件上满足拉格朗日中值定

在显然令b a t f

),,(b a ∈∴ξ存在.ln 2)(ln

ln 2

2ξ

ξ

ξ=

'=--f a

b a

b 满足

),,(ln 2)2

e e x x

x x g ∈=

（令可得（由2

2

)

ln 1(2ln 22)x

x x

x

x g -=

-=

'∴

.0)(,),(2

<'∈x g e e x 时当.)(,),(2

单调递减时x g e e x ∈∴ ,2

e b a e <<<<ξ 又.2ln 242

e

e

<

<

∴

ξ

ξ

.,4ln ln 2

2

2结论得证e

a

b a

b >

--∴

4、证明：设)0(2

11)(2

>-

--=x x x e x f x ,则0)0(=f

得1)('',1)('-=--=x x e x f x e x f

0)0()(0)(01)('',0='>'∴∞+'>-=∴>f x f x f e x f x x ）单调递增，，在（得 0)0()(0)(=>∴∞+∴f x f x f ）单调递增，，在（ ∴2

2

2

1102

11x x e

x

x e x

x

+

+>>-

--即

五、解：设),(y x P 到定点)0,2(A 的距离为S .

()452)2(22

2

2

2

2

2

+-=-+-=+-=x x x x x y x S

，()542

-='x S

. 令()02

='S ，则4

5=

x ；而

()042

>="S . 故4

5=

x

为极小值点. P 点坐标为 ），（4

54

5±

.

六、略.