18讲 平面应力状态分析——解析法

哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 1 的方向： 15.5, o
30MPa
60MPa
+
主应力 3 的方向： o' 105.5
40MPa
30MPa
+
作业：刘鸿文，《材料力学》（第五版） 7-1;7-2（a）
轴向拉压：
F

F A
同一横截面上各点应力相等： F

同一点在斜截面上时：
cos sin 2
2

2
此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应
力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面 上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。
60MPa

68.3 48.3
MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
主平面的方位：
40
tg 2 o
2 xy
x y
60 40

30MPa

2 (30)
60MPa
0.6

Βιβλιοθήκη Baidu
o 15.48 , o' 15.48 90 105.48
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
二 平面应力状态分析 — 解析法
1.斜截面上的应力
已知受力构件中的应力单元体

y
x
e
x
f
x


y
求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力
公式推导使用的符号规定：
y
正 应 力:
x
α角: 由x正向逆时针转到n正向 者为正；反之为负。
x
α α
n x
x
拉应力为正


x y
2
60 40 2
sin 2 xy cos 2
sin( 60 ) 30 cos( 60 )

58.3MPa
（2）主应力
40
min
max
x y
2
60 40 2
(
x y
2
) xy
2
2
30MPa

60 40 2 2 ( ) (30) 2
2
x y
公式推导
(2) 面上的应力：
x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2


x y
2
sin 2 xy cos 2
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2





x y
2
sin 2 xy cos 2
公式推导 (3) , 面上的应力之间的关系：

x y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
x




[ ]

讨论基本变形强度问题时的 共同特点:
M
M
危险截面上的危险点只承受
正应力或剪应力：
max
M x max W [ ]
中性轴
max
max
FQ S z I zb
*
[ ]
2
应力状态的三个重要概念
(1)应力的面的概念 (2)应力的点的概念 (3)应力状态的概念
即又一次证明了剪应力的互等定理。
yx
xy

y
2. min ?
max
在何处? 该处
?
令
d d
0 ,
x y
2
2sin 2 x cos 2 2 0
则: 2( x y sin 2 cos 2) 0 x
2
max 即: 0 面上有 min
a
F F
a
A
B
C
A
B
C
课堂练习
l
绘图示构件固端S截 面上、下、左、右 切线点处的应力单 元体
S
FP a
应力状态的分类：
（1）三向（空间）应力状态
3
1

2
（2）平面（二向）应力状态
（3）简单应力状态
y
x
y
yx xy
x
x
单向应力状态
纯剪应力状态
三 向 应 力 状 态
特例
平 面 应 力 状 态
过一点不同方向面上应力的集 合，称之为这一点的应力状态。
应力状态分析：就是研究一点处沿各个不同方位的截 面上的应力及其变化规律。
3
一点应力状态的描述
单元体
dx dy, dz 0 ,
课堂练习 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面 的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的 应力。
dA x dA cos cos x dA cos sin y dA sin cos y dA sin sin 0
cos 2 x sin 2 2 2 dA x dA cos sin x dA cos cos y dA sin sin y dA sin cos 0 x y sin 2 x cos 2
30MPa

60MPa
解、(1) 斜面上的应力 （1）斜面上的应力 x y x y 40 cos 2 xy sin 2
2 2
30MPa

60 40 2

60 40 2
cos( 60 ) 30 sin( 60 )



60MPa
9.02MPa
压应力为负

切 应 力: 使单元体或其局部顺时 针方向转动为正；反之为 负。
y

公式推导 (1)
a 面上的应力：
F

n
n
0
0
e
e
x x
F
2

cos
1 cos 2 2


x
y
x
b
y

f
sin
2
1 cos 2 2
y
f
x y
y

x y
1 、 2 、 3
用代数值确定，排列为 1 2 3
例题1 一点处的平面应力状态如图所示。已知
x 60MPa,
30 ,

xy 30MPa.
y 40MPa,
试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
第十七讲 平面应力状态分析——解析法
湖南理工学院——曾纪杰
一 应力状态的概念
1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点:
危险截面上的危险点只承受正应力: 拉(压):
F


F A [ ]
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受剪应力:
扭转:
max
M max WP
max
在何处？ 该处σ=？
2 cos 2 2 x sin 2 0
令
d d
0,
x y
2
x y
2
即: 将 方位:
2(
cos 2 x sin 2 ) 0
0
代 式,得:
x y
2 x
tg 2 0
大小: min (
0
在何处?
sin 2 x cos 2 0
令 得:
x y
2
tg 2 o
2 x
x y
将 代入 式,得 o
min
max
x y
2
max

(
x y
2
) x
2
2
显然,在 min 面上 0
3、 min = ?
max
x y
2
) x
2
2
min
max
面上的正应力:

0

x y
2

x y
2
cos 2 0 x sin 2 0
4、主平面、主应力、主应力的排列
主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主 平面。
主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。 主应力的排列：