3.1.1函数及其表示方法第1课时(新教材教师用书)

3.1.1函数及其表示方法

第1课时函数的概念

(教师独具内容)

课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻

画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

教学重点：函数的概念；符号“y＝f(x)”的含义；函数的定义域和值域的求法．

教学难点：符号“y＝f(x)”的含义及已知函数解析式求函数定义域的方法.

【情境导学】(教师独具内容)

夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．

同学们，你知道顾客是怎么晓得店主坑人的吗？

【知识导学】

知识点一函数的概念

(1)函数的传统定义

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有□01唯一确定的值与其对应，那么就称□02y是□03x的函数．

(2)函数的近代定义

一般地，给定两个□04非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有□05唯一确定的实数y与x对应，则称□06f为定义在集合A上的一个

函数，记作□07y＝f(x)，x∈A.

知识点二函数的定义域和值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，□01x称为自变量，□02y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的□03定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的□04值域．

知识点三确定函数的两个要素

□01定义域；

□02对应关系．

知识点四两个函数相同的条件

□01定义域相同；

(2)□02对应关系相同．

知识点五求函数定义域常用的依据

□01分式中分母不能为零；

□02二次根式中的被开方数要大于等于零．

【新知拓展】

对函数概念的理解

(1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝x－1

1－x

就不是

函数．

(2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应．

(3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C⊆B.

(4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系．

(5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”．

(6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量．

(7)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的实数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数值域中的每一个实数都有定义域中的实数与之对应．()

(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．()

(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．()

(4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．()

答案(1)√(2)×(3)√(4)√

2．做一做

(1)对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()

A．f(a)∈B

B．f(a)有且只有一个

C．若f(a)＝f(b)，则a＝b

D．若a＝b，则f(a)＝f(b)

(2)已知f(x)＝x2＋1，则f[f(－1)]＝()

A．2 B．3

C．4 D．5

(3)求下列函数的定义域：

①f(x)＝

1

x＋8；

②f (x )＝3x －4＋5－x .

答案 (1)C (2)D (3)①{x |x ≠－8} ②⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

43，5

题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：

(1)y ＝2x ＋3；(2)y ＝x ＋1＋1

2－x ；(3)y ＝x －1x ＋1.

[解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为R .

(2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧ x ＋1≥0，2－x ≠0，即⎩⎨⎧

x ≥－1，x ≠2.所以函数y ＝x ＋1＋1

2－x 的定义域是

[－1,2)∪(2，＋∞)．

(3)要使函数有意义，则⎩⎨⎧ x －1≥0，x ＋1>0，即⎩⎨⎧

x ≥1，x >－1，即x ≥1，所以函数y ＝x －1

x ＋1的定义域

为[1，＋∞)．

金版点睛

求函数定义域的步骤与方法

(1)求函数定义域的一般步骤

①列出使函数解析式有意义的自变量的不等式(组)； ②解不等式(组)；

③把解集表示成集合或区间的形式． (2)列不等式(组)的依据 ①分母不为零；

②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③零指数幂的底数不为零．

④几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示．若用区间表示，不同区间应该用“∪”连接．

[跟踪训练1] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1

x ＋1

；(2)y ＝x －1＋1－x ； (3)y ＝

x ＋1

x 2

－1

；(4)y ＝(1－2x )0. 解 (1)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．

(2)要使函数式有意义，则⎩⎨⎧ x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧

x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．

(3)因为当x 2

－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1

x 2－1

有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}．

(4)∵1－2x ≠0，即x ≠1

2，

∴函数的定义域为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ≠1

2

. 题型二 求函数值或求函数的值域 例2 (1)已知f (x )＝

1

1＋x

(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f [g (3)]的值； (2)求下列函数的值域： ①y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；