《高等代数II》例题讲解
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《高等代数 II》习题课例题讲解
例1 （ 《高等代数》张志让等，高教版. P214 第 1 题）设 ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 是 4 维线性空间 V 的一个 基，线性变换 σ 在这个基下的矩阵为
1 0 −1 2 1 2 2 −2
2 1 1 3 5 5 1 −2
T
Fe1 = e2 , F 2e1 = Fe2 = e3 , ⋅⋅⋅, F n −1e1 = F ( F n− 2e1 ) = Fen −1 = en .
因此，
Me1 = an1 F n −1e1 + an −1,1 F n −2 e1 + ⋅⋅⋅ + a21 Fe1 + a11e1 = an1en + an −1,1en−1 + ⋅⋅⋅ + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1 ， Me2 = MFe1 = FMe1 = FAe1 = AFe1 = Ae2 , Me3 = MF 2e1 = F 2 Me1 = F 2 Ae1 = AF 2 e1 = Ae3 ,
故 g ( ξ ) ∈ V0 . 所以 V0 是 g -子空间. 下面考虑 g 在 V0 上的限制 g |V0 ，由于 V0 是复数域 C 上的线性空间，因此 g |V0 一定有特征值， 设为 λ ′ ，设它的一个特征向量为 ξ ′ ∈ V0 ，所以， ξ ′ 也是 f , g 的公共的特征向量. 证毕. 例 3 （2009 年全国大学生数学竞赛数学类试题）已知 C n×n 是 n × n 复数矩阵全体在通常运算下 所构成的复数域 C 上的线性空间，
0 0 0 0 ，显然 B 是可逆阵. 1 0 1 2
由题意知 σ ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) A ， (η1 ,η2 ,η3 ,η 4 ) = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B ，因此，
令 ξ1 = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β1 = 4ε1 + 3ε 2 − 2ε 3 ， ξ1 = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β 2 = ε1 − 2ε 2 − ε 4 ，则
σ −1 ( 0 ) = L (ξ1 ,ξ 2 ) .
下面再求值域 σ (V ) . 对矩阵 A 施行初等列变换得
因此，
λ ( g (ξ ) + ξ ) = f ( g 2 (ξ ) ) − g λ ( g (ξ ) + ξ )
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《高等代数 II》习题课例题讲解
= f ( g 2 ( ξ ) ) − λ g 2 (ξ ) − λ g (ξ ) ,
得到
f ( g 2 ( ξ ) ) = λ ( g 2 ( ξ ) + 2 g (ξ ) + ξ ) .
ຫໍສະໝຸດ Baidu 1 F = 0 ⋅⋅⋅ 0
（1）设 A = aij
0 0 1
− an − an −1 − an − 2 . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ − a1 0 ⋅⋅⋅ 1 0 0 0
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
( )
n ×n
， AF = FA . 证明：
T T
其通解为 x = c1 β1 + c2 β 2 ，这里 c1 , c2 为任意常数. 所以， σ −1 ( 0 ) = α ∈ V | σ (α ) = 0
{
}
= {c1 (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β1 + c2 (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β 2 | c1 , c2是任意常数} .
σ (V ) = L (σ (γ 1 ) , ⋅⋅⋅, σ (γ 4 ) ) .
(σ (γ ) , ⋅⋅⋅, σ (γ ) ) = (σ ( ε ) , ⋅⋅⋅,σ ( ε ) ) P
1 4 1 4
= ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) AP 1 0 0 1 = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) 2 1 1 −1 0 0 0 0 . 0 0 0 0
0 = ( x0 E + x1 F + x2 F 2 + ⋅⋅⋅ + xn−1 F n−1 ) e1 = x0 e1 + x1 Fe1 + x2 F 2 e1 + ⋅⋅⋅ + xn−1 F n−1e1 = x0 e1 + x1e2 + x2 e3 + ⋅⋅⋅ + xn −1en .
故 x0 = x1 = x2 = ⋅⋅⋅ = xn −1 = 0 ， 即 E , F , F 2 , ⋅⋅⋅, F n −1 线 性 无 关 ， 因 而 它 是 C ( F ) 的 基 . 故
1 0 0 1 A→ 2 1 1 −1
0 0 0 0
0 0 ， 0 0
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即存在可逆阵 P ，使得
1 0 0 1 AP = 2 1 1 −1
0 0 0 0
0 0 . 0 0
令 ( γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 ) = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) P ，则 γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 也是 V 的一组基，因此
于是 ξ = 0 ，这与 ξ 是对应于 λ 的特征向量的前提不相符. 故 λ = 0 . 所以 f 的特征值全是 0. （2）设 V0 = ξ ∈ V | f ( ξ ) = 0 是 f 的属于特征值 0 的特征子空间，则 V0 是 f -子空间.
{
}
∀ξ ∈ V0 ，则 f (ξ ) = 0 ，所以 0 = f (ξ ) = f ( g ( ξ ) ) − g ( f ( ξ ) ) = f ( g (ξ ) ) ，
(ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = (η1 ,η2 ,η3 ,η4 ) B −1 .
σ (η1 ,η 2 ,η3 ,η 4 ) = σ ( ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B = (σ ( ε 1 ) , σ ( ε 2 ) , σ ( ε 3 ) , σ ( ε 4 ) ) B = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) AB = (η1 ,η 2 ,η3 ,η 4 ) B −1 AB .
（2）先求核 σ −1 ( 0 ) .
0 1 3 1 3
0 0 1 1 2
0 −
0 0 . 0 1 2
∀α ∈ σ −1 ( 0 ) ，设 α = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) x ，其中 x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) .
T
由 σ (α ) = σ ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) x = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) Ax = 0 知， Ax = 0 . 对系数矩阵 A 施行初等行变 换得
A = an1F n −1 + an −1,1F n −2 + ⋅⋅⋅ + a21F + a11E ；
（2）求 C n×n 的子空间 C ( F ) = X ∈ C
{
n× n
| FX = XF } 的维数.
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n −1 n− 2 + ⋅⋅⋅ + a21F + a11E . 要证明 M = A ， 证（1） 记 A = (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n ) , M = an1 F + an −1,1 F
（1）求 σ 在η1 = ε1 − 2ε 2 + ε 4 ,η2 = −3ε 2 − ε 3 − ε 4 ,η3 = ε 3 + ε 4 ,η 4 = 2ε 4 下的矩阵； （2）求 σ 的核与值域.
1 0 −1 2 解（1） 设 A = 1 2 2 −2
1 1 0 −2 3 3 ，B = 0 −1 5 5 1 −2 1 −1 2 1
计算得
1 0 −2 3 B −1 AB = 0 −1 1 −1
0 0 1 1
0 0 0 2
−1
1 0 −1 2 1 2 2 −2
2 1 1 0 1 3 −2 3 5 5 0 −1 1 −2 1 −1
0 0 1 1
⋅⋅⋅
Men = MF n −1e1 = F n −1Me1 = F n −1 Ae1 = AF n −1e1 = Aen .
故 M = A. 解（2） 由（1）知 C ( F ) = span E , F , F , ⋅⋅⋅, F
2
{
n −1
}.
设 x0 E + x1 F + x2 F 2 + ⋅⋅⋅ + xn −1 F n −1 = 0 . 所以
2 0 2 0 =3 0 8 2 3 0
−3 4 − 3 16 − 3 1
3 10 3 40 3 −7
2 10 3 40 3 8
为线性变换 σ 在基η1 ,η2 ,η3 ,η4 下的矩阵. 注 在求 B 时，可由已知两组基的关系容易解得
1 0 A→ 0 0
0 1 0 0
2 3 2 0 0
1 2 . 0 0
x1 = −2 x3 − x4 ，它的一个基础解系是 所以，齐次线性方程组 Ax = 0 可化为 3 x2 = − x3 − 2 x4 2 β1 = ( 4,3, −2, 0 ) , β 2 = (1, −2, 0, −1) ,
−1
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2 2 1 1 ε1 = η1 + 3 η2 + 3 η3 − 2 η 4 2 1 1 ε = η + η 3 2 2 3 2 3 ，因此 B −1 = 2 ε =η − 1η 3 3 4 3 2 1 1 − ε 4 = η4 2 2
$ξ $° ° ， σ (γ ) = ε + ε − ε = σ ( γ 1 ) = ε1 + 2ε 3 + ε 4 = 1 2 2 3 4 ξ2 ， σ (γ 3 ) = σ ( γ 4 ) = 0 . 故 °,ξ ° . σ (V ) = L ξ 1 2
例 2（2009 年全国大学数学竞赛数学类试题） 设 V 是复数域 C 上的 n 维线性空间 ( n > 0 ) ，f , g 是 V 上的线性变换. 如果 fg − gf = f ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共的特征向量. 解（1）设 λ 是 f 的任一特征值， ξ 是对应于 λ 的特征向量，因此， f ( ξ ) = λξ . 由于 f = fg − gf ，所以
(
)
f ( ξ ) = f ( g (ξ ) ) − g ( f (ξ ) ) ，
即
λξ = f ( g (ξ ) ) − g ( λξ ) = f ( g (ξ ) ) − λ g (ξ ) ,
移项得
f ( g ( ξ ) ) = λ ( g (ξ ) + ξ )
其次，
（1）
f ( g ( ξ ) ) = f ( g 2 (ξ ) ) − g f ( g (ξ ) ) ，
在（1）中以 g (ξ ) 代替 ξ 可得
（2）
f ( g 2 ( ξ ) ) = λ ( g 2 ( ξ ) + g (ξ ) ) .
（2） − （3）得
（3）
λ ( g (ξ ) + ξ ) = 0 .
若 λ ≠ 0 ，则 g (ξ ) + ξ = 0 ，所以，由（1）得
0 = f ( g (ξ ) + ξ ) = f ( g (ξ ) ) + f (ξ ) = λ ( g (ξ ) + ξ ) + λξ = λξ ,
只需证明 M 和 A 的各列向量对应相等即可. 设 ei 表示第 i 个基本单位列向量. 只需证明
Mei = Aei = α i , i = 1, 2, ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅n .
若记 β = ( − an , − an −1 , ⋅⋅⋅, − a1 ) ，则 F = ( e2 , e3 , ⋅⋅⋅, en , β ) . 注意到
例1 （ 《高等代数》张志让等，高教版. P214 第 1 题）设 ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 是 4 维线性空间 V 的一个 基，线性变换 σ 在这个基下的矩阵为
1 0 −1 2 1 2 2 −2
2 1 1 3 5 5 1 −2
T
Fe1 = e2 , F 2e1 = Fe2 = e3 , ⋅⋅⋅, F n −1e1 = F ( F n− 2e1 ) = Fen −1 = en .
因此，
Me1 = an1 F n −1e1 + an −1,1 F n −2 e1 + ⋅⋅⋅ + a21 Fe1 + a11e1 = an1en + an −1,1en−1 + ⋅⋅⋅ + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1 ， Me2 = MFe1 = FMe1 = FAe1 = AFe1 = Ae2 , Me3 = MF 2e1 = F 2 Me1 = F 2 Ae1 = AF 2 e1 = Ae3 ,
故 g ( ξ ) ∈ V0 . 所以 V0 是 g -子空间. 下面考虑 g 在 V0 上的限制 g |V0 ，由于 V0 是复数域 C 上的线性空间，因此 g |V0 一定有特征值， 设为 λ ′ ，设它的一个特征向量为 ξ ′ ∈ V0 ，所以， ξ ′ 也是 f , g 的公共的特征向量. 证毕. 例 3 （2009 年全国大学生数学竞赛数学类试题）已知 C n×n 是 n × n 复数矩阵全体在通常运算下 所构成的复数域 C 上的线性空间，
0 0 0 0 ，显然 B 是可逆阵. 1 0 1 2
由题意知 σ ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) A ， (η1 ,η2 ,η3 ,η 4 ) = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B ，因此，
令 ξ1 = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β1 = 4ε1 + 3ε 2 − 2ε 3 ， ξ1 = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β 2 = ε1 − 2ε 2 − ε 4 ，则
σ −1 ( 0 ) = L (ξ1 ,ξ 2 ) .
下面再求值域 σ (V ) . 对矩阵 A 施行初等列变换得
因此，
λ ( g (ξ ) + ξ ) = f ( g 2 (ξ ) ) − g λ ( g (ξ ) + ξ )
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= f ( g 2 ( ξ ) ) − λ g 2 (ξ ) − λ g (ξ ) ,
得到
f ( g 2 ( ξ ) ) = λ ( g 2 ( ξ ) + 2 g (ξ ) + ξ ) .
ຫໍສະໝຸດ Baidu 1 F = 0 ⋅⋅⋅ 0
（1）设 A = aij
0 0 1
− an − an −1 − an − 2 . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ − a1 0 ⋅⋅⋅ 1 0 0 0
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
( )
n ×n
， AF = FA . 证明：
T T
其通解为 x = c1 β1 + c2 β 2 ，这里 c1 , c2 为任意常数. 所以， σ −1 ( 0 ) = α ∈ V | σ (α ) = 0
{
}
= {c1 (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β1 + c2 (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) β 2 | c1 , c2是任意常数} .
σ (V ) = L (σ (γ 1 ) , ⋅⋅⋅, σ (γ 4 ) ) .
(σ (γ ) , ⋅⋅⋅, σ (γ ) ) = (σ ( ε ) , ⋅⋅⋅,σ ( ε ) ) P
1 4 1 4
= ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) AP 1 0 0 1 = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) 2 1 1 −1 0 0 0 0 . 0 0 0 0
0 = ( x0 E + x1 F + x2 F 2 + ⋅⋅⋅ + xn−1 F n−1 ) e1 = x0 e1 + x1 Fe1 + x2 F 2 e1 + ⋅⋅⋅ + xn−1 F n−1e1 = x0 e1 + x1e2 + x2 e3 + ⋅⋅⋅ + xn −1en .
故 x0 = x1 = x2 = ⋅⋅⋅ = xn −1 = 0 ， 即 E , F , F 2 , ⋅⋅⋅, F n −1 线 性 无 关 ， 因 而 它 是 C ( F ) 的 基 . 故
1 0 0 1 A→ 2 1 1 −1
0 0 0 0
0 0 ， 0 0
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即存在可逆阵 P ，使得
1 0 0 1 AP = 2 1 1 −1
0 0 0 0
0 0 . 0 0
令 ( γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 ) = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) P ，则 γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 也是 V 的一组基，因此
于是 ξ = 0 ，这与 ξ 是对应于 λ 的特征向量的前提不相符. 故 λ = 0 . 所以 f 的特征值全是 0. （2）设 V0 = ξ ∈ V | f ( ξ ) = 0 是 f 的属于特征值 0 的特征子空间，则 V0 是 f -子空间.
{
}
∀ξ ∈ V0 ，则 f (ξ ) = 0 ，所以 0 = f (ξ ) = f ( g ( ξ ) ) − g ( f ( ξ ) ) = f ( g (ξ ) ) ，
(ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = (η1 ,η2 ,η3 ,η4 ) B −1 .
σ (η1 ,η 2 ,η3 ,η 4 ) = σ ( ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B = (σ ( ε 1 ) , σ ( ε 2 ) , σ ( ε 3 ) , σ ( ε 4 ) ) B = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) AB = (η1 ,η 2 ,η3 ,η 4 ) B −1 AB .
（2）先求核 σ −1 ( 0 ) .
0 1 3 1 3
0 0 1 1 2
0 −
0 0 . 0 1 2
∀α ∈ σ −1 ( 0 ) ，设 α = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) x ，其中 x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) .
T
由 σ (α ) = σ ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) x = ( ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) Ax = 0 知， Ax = 0 . 对系数矩阵 A 施行初等行变 换得
A = an1F n −1 + an −1,1F n −2 + ⋅⋅⋅ + a21F + a11E ；
（2）求 C n×n 的子空间 C ( F ) = X ∈ C
{
n× n
| FX = XF } 的维数.
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n −1 n− 2 + ⋅⋅⋅ + a21F + a11E . 要证明 M = A ， 证（1） 记 A = (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n ) , M = an1 F + an −1,1 F
（1）求 σ 在η1 = ε1 − 2ε 2 + ε 4 ,η2 = −3ε 2 − ε 3 − ε 4 ,η3 = ε 3 + ε 4 ,η 4 = 2ε 4 下的矩阵； （2）求 σ 的核与值域.
1 0 −1 2 解（1） 设 A = 1 2 2 −2
1 1 0 −2 3 3 ，B = 0 −1 5 5 1 −2 1 −1 2 1
计算得
1 0 −2 3 B −1 AB = 0 −1 1 −1
0 0 1 1
0 0 0 2
−1
1 0 −1 2 1 2 2 −2
2 1 1 0 1 3 −2 3 5 5 0 −1 1 −2 1 −1
0 0 1 1
⋅⋅⋅
Men = MF n −1e1 = F n −1Me1 = F n −1 Ae1 = AF n −1e1 = Aen .
故 M = A. 解（2） 由（1）知 C ( F ) = span E , F , F , ⋅⋅⋅, F
2
{
n −1
}.
设 x0 E + x1 F + x2 F 2 + ⋅⋅⋅ + xn −1 F n −1 = 0 . 所以
2 0 2 0 =3 0 8 2 3 0
−3 4 − 3 16 − 3 1
3 10 3 40 3 −7
2 10 3 40 3 8
为线性变换 σ 在基η1 ,η2 ,η3 ,η4 下的矩阵. 注 在求 B 时，可由已知两组基的关系容易解得
1 0 A→ 0 0
0 1 0 0
2 3 2 0 0
1 2 . 0 0
x1 = −2 x3 − x4 ，它的一个基础解系是 所以，齐次线性方程组 Ax = 0 可化为 3 x2 = − x3 − 2 x4 2 β1 = ( 4,3, −2, 0 ) , β 2 = (1, −2, 0, −1) ,
−1
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2 2 1 1 ε1 = η1 + 3 η2 + 3 η3 − 2 η 4 2 1 1 ε = η + η 3 2 2 3 2 3 ，因此 B −1 = 2 ε =η − 1η 3 3 4 3 2 1 1 − ε 4 = η4 2 2
$ξ $° ° ， σ (γ ) = ε + ε − ε = σ ( γ 1 ) = ε1 + 2ε 3 + ε 4 = 1 2 2 3 4 ξ2 ， σ (γ 3 ) = σ ( γ 4 ) = 0 . 故 °,ξ ° . σ (V ) = L ξ 1 2
例 2（2009 年全国大学数学竞赛数学类试题） 设 V 是复数域 C 上的 n 维线性空间 ( n > 0 ) ，f , g 是 V 上的线性变换. 如果 fg − gf = f ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共的特征向量. 解（1）设 λ 是 f 的任一特征值， ξ 是对应于 λ 的特征向量，因此， f ( ξ ) = λξ . 由于 f = fg − gf ，所以
(
)
f ( ξ ) = f ( g (ξ ) ) − g ( f (ξ ) ) ，
即
λξ = f ( g (ξ ) ) − g ( λξ ) = f ( g (ξ ) ) − λ g (ξ ) ,
移项得
f ( g ( ξ ) ) = λ ( g (ξ ) + ξ )
其次，
（1）
f ( g ( ξ ) ) = f ( g 2 (ξ ) ) − g f ( g (ξ ) ) ，
在（1）中以 g (ξ ) 代替 ξ 可得
（2）
f ( g 2 ( ξ ) ) = λ ( g 2 ( ξ ) + g (ξ ) ) .
（2） − （3）得
（3）
λ ( g (ξ ) + ξ ) = 0 .
若 λ ≠ 0 ，则 g (ξ ) + ξ = 0 ，所以，由（1）得
0 = f ( g (ξ ) + ξ ) = f ( g (ξ ) ) + f (ξ ) = λ ( g (ξ ) + ξ ) + λξ = λξ ,
只需证明 M 和 A 的各列向量对应相等即可. 设 ei 表示第 i 个基本单位列向量. 只需证明
Mei = Aei = α i , i = 1, 2, ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅n .
若记 β = ( − an , − an −1 , ⋅⋅⋅, − a1 ) ，则 F = ( e2 , e3 , ⋅⋅⋅, en , β ) . 注意到