线段的和差倍分问题一

线段的和、差、倍、分问题（一）
1．数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算。

2．线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论。

3．对于比较复杂的，可设某个线段为x，找出等量关系，列一元一次方程求解。

4．结论：已知线段AB，点C是线段AB上任意
．．一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则
MN=1
2 AB．
证明：由于点M是AC中点，所以MC= 1
2
AC，由于点N是BC中点，则CN=
1
2
BC，而MN=MC+CN=
1 2（AC+AB）=
1
2
AB。

典型例题
例1 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么AC两点之间的距离为（）
A、2cm
B、6cm
C、2或6cm
D、无法确定
分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．
解：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：AC=AB-BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4-2=2cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：AC=AB+BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4+2=6cm．
例2 如果A，B，C在同一条直线上，线段AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，那么M、N两点之问的距离是（）
A、4cm
B、2cm
C、4cm或2cm
D、8cm或4cm
分析：根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分①点C不在线段AB，②点C在线段AB上两种情况进行讨论求解．
解：∵AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，∴BM=1
2
AB=
1
2
×6=3cm，
BN=1
2
BC=
1
2
×2=1cm，
①如图1，点C在线段AB的延长线上时，MN=BM+BN=3+1=4cm，
②如图2，点C在线段AB上时，MN=BM-BN=3-1=2cm，
综上所述，M、N两点之问的距离是4cm或2cm．
例3 如图，线段AC=6 cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．
分析：因为点M是AC的中点，则有MC=AM= 12AC，又因为CN：NB=1：2，则有CN= 13BC，故MN=MC+NC 可求．
解：∵M是AC的中点，∴MC=AM=1
2
AC=
1
2
×6=3cm，
又∵CN：NB=1：2，∴CN=1
3
BC=
1
3
×15=5cm，∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm．
答：MN的长为8cm．
强化训练：
1．已知线段AB=8cm，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则线段MN= ．
2．如图，线段AB=12cm，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，MN的长为cm，如果AM=4cm，BN的长为cm．
3．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）
A、7cm
B、3cm
C、7cm或3cm
D、5cm
4．如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，M是AB的中点，N是DC的中点，MN=a，BC=b，那么AD等于（）
A、a+b
B、a+2b
C、2b-a
D、2a-b
5．C，D是线段AB上任意两点，M，N分别是AC，BD的中点，若CD=a，MN=b，则AB的长为（）
A、2b-a
B、b-a
C、2b+a
D、以上均不对
6．已知AB=10cm，在AB的延长线上取一点C，使AC=16cm，则线段AB的中点与AC的中点的距离为
A、5cm
B、4cm
C、3cm
D、2cm
7．若M是AB的中点，C是MB上任意一点，那么与MC相等的是（）
A、1
2
（AC-BC）B、
1
2
（AC+BC）C、AC-
1
2
BC D、BC-
1
2
8．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（）
A、3：4
B、2：3
C、3：5
D、1：2
9．C为线段AB上一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点；若AB=26cm ，AM=6cm。

（1）求NC的长；
（2）若AC：CB=3：2，且NB=5cm，求MN的长．
10．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，BC=2
3
AC，D为BC的中点，求线段AD的长．
线段的和、差、倍、分问题（一）答案
1．4．解：如图，∵点M是AC中点，∴MC= 1
2
AC，∵点N是BC中点，∴CN=
1
2
BC，
MN=MC+CN=1
2
（AC+AB）=
1
2
AB=4．
2．6、2．
5．D．解：（1）当点C在线段AB上时，则MN= 1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
AB=5；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN= 1
2
AC-
1
2
BC=7-2=5．
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．故选D．
6．D．分析：注意到MN-BC为AB+CD的一半，即a-b=1
2
(AB+CD)，
所以AB+CD=2a-2b，所以AD=AB+CD+BC=2a-b．
7．D．分析：因不知道ABCD四点之间的关系，只能分情况处理：若C在D的左边，则AB的长为2b-a；
若C在D的右边，则AB的长为2b+a．
8．C．如图
∵AB=10cm，AC=16cm，D，E分别是AB，AC的中点，∴AD= 1
2
AB=5cm，AE=
1
2
AC=8cm，
∴DE=AE-AD=8-5=3cm，
9．A．
10．A．解：如图所示
∵CA=3AB，∴CB=CA+AB=4AB，∴CA：CB=3：4．11．7,12.5。

解：如图：∵AM=6cm，
∴AC=12，
∴BC=26-12=14．
∴NC=1
2
BC=7，故答案为7；
∵NB=5，∴BC=10，又AC：CB=3：2，
∴AC=15，
∴MC=7.5，
∴MN=MC+CN=12.5，故答案为12.5．
12．解：如图，∵BC+AC=AB=15，BC=2
3
AC
∴AC=9cm，BC=6cm，
∵D为BC的中点，
∴CD=3cm，
∴AD=AC+CD=12cm．
答：为线段AD的长12cm．。