中考数学专题 动态几何之线动形成的面积问题(含解析)

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专题29动态几何之线动形成的面积问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

1.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直

线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝△x，AMN的面积为y，则

y关于x的函数图象大致形状是【】

【答案】C

【解析】△AMN的面积=

1

2AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

解：（1）当0＜x≤1时，如图，

在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；

同理证得，△CDB ∽ △C N M ， CP NM

（2）当 1＜x ＜2，如图，

MN

= ，

OC BD

即 2 - x = ，MN=2-x ；

1 1

1

∴y=

2

A P×MN= 1

2

x×（2-x ），

y=- 1

2

x 2+x ；

1

∵- ＜0，

2

∴函数图象开口向下；

综上答案 C 的图象大致符合．

故选：C ．

本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -2x 2 经过平移得到抛物线 y = -2x 2 + 4x ，其对称轴与两段

抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】

A．2B．4C．8D．16

【答案】B。

【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，转换思想的应用。

3.如图，在坐标系xOy中，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，A（1，0），B（0，3），抛物线

y=

3

16

x2+bx-2的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分？

⎪ ⎪ ⎩ ⎩

【答案】解：（1）∵A（1，0），B （0， 3 ），

∴OA=1，OB= 3 ，AB=2，∠OBA=30°。

∵△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC =60°，

∴AC= 2 3 ，BC=4，且 BC ∥x 轴。

如图所示，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D ，则

∴OD= BC=4，CD=O B= 3 。

∴C （4， 3 ）。

∵点 C （4， 3 ）在抛物线 y = 3 16

x 2

+ bx - 2 上，

3 1

∴ 3 = ⨯16 + 4b - 2 ，解得： b = 。

16 2

3 1

∴抛物线的解析式为： y = x 2 + x - 2 。

16 2 （2） S ∆ ABC 1 1 1 2

= ⋅ AB ⋅ AC = ⋅ 2 ⋅ 2 3 = 2 3, S = 3 。

2 2

3 ∆ ABC 3

设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ，

∵A（1，0），B （0， 3 ），

⎧k + b = 0 ⎧k = - 3

∴ ⎨ ，解得 ⎨ 。

⎪b = 3 ⎪b = 3

∴直线 AB 的解析式为 y = - 3x + 3 。

设直线 AC 的解析式为 y=mx+n ，

⎧⎪k+b=0⎪3

⎩

∴直线AC的解析式为y=

3

3

x⎪

⎪⋅

4-x)=

1⎛233⎫(

得⋅

2⎝33

2

∵A（1，0），C（4，3），

⎧3

⎪k=

∴⎨，解得⎨

⎪⎩4k+b=3⎪b=-3

⎪3

。

3

x-

33

。

在△CGH中，由S

∆CGH

1

=S

∆ABC

-

⎭

2

3

3，即x2-6x+4=0解得x=3-5或x=3+5（大于4，不合题意，舍去）。

∴当直线l解析式为x=

2

3

3或x=3-5△

时，恰好将ABC的面积分为1：的两部分。

【考点】二次函数综合题，动线问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，含30度直角三角形的性质，分类思想的应用。