第二章 导热微分方程式
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T 导热系数 依靠分子无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递 T 导热系数 a) 金属的热导率： 依靠自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠前者 T 导热系数 依靠晶格的振动传递热量；
b) 非金属的热导率：
液体的导热系数
T 导热系数 主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞
不同物质的导热系数
温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向
四、热流密度矢量(Heat flux)
热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量 不同方向上的热流密度的大小不同
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度
的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
直角坐标系中：
温度梯度和热流密度的方向都是在等温 面的法线方向。由于热流是从高温处流 向低温处，因而温度梯度和热流密度的 方向正好相反。
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
d 2t 0 2 dx
拉普拉斯方程
三、其他坐标下的导热微分方程
d 2t 0 2 dx
直角坐标
对于圆柱坐标系
d dt r 0 dr dr
d 2t 1 dt 0 2 dr r dr
四、导热过程的单值性条件
稳态导热： 特例：绝热边界面：
非稳态导热：
思考
等温线与绝热边界位置关系应该为垂直相交 _______， 不 存在热量传递，沿绝热边界 沿等温线______ 可能会 存在热量传递。 _________
第三类边界条件 当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知 任一时刻边界面周围流体的温度 t f 以及边界与 流体之间的复合换热系数
导热系数λ的取值
λ＝const，不考虑温度对其影响
0 (1 bt ) ，认为λ是温度的线性函数
§2-3 导热微分方程式及定解条件 一、导热微分方程式
傅里叶定律： 确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场 首要任务 理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒定律 假设： (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知
导热微分方程式的理论基础： 傅里叶定律+能量守恒定律 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉 及具体、特定的导热过程。通用表达式。
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明 条件的唯一解 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件 完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项： 几何条件 物理条件
dQy+d
dQx+dx
dQx dx
t qx dx dydz t dx dydz x x
y
单位 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQx dQx dx
2t 2 dxdydz x
单位 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
固体 液体 气体 金属 非金属
气体 0.006～0.6W / m C
液体 0.07～0.7W / m C
金属 2～410W / m C
当λ <0.12 W/(m℃)(GB4272-92)时， 这种材料称为保温材料。高效能的保 温材料多为蜂窝状多孔结构。 1.防潮 2.避免挤压 3.在中低温中
[W m ]
2
矢量形式
t dQ dA qdA n
标量形式
热导率（导热系数）
傅里叶定律只适用于均质各向同性材料的纯导热现象： 热导率在各个方向是相同的
二、导热系数（Thermal conductivity）
由傅利叶定律得到(标量形式):
q q / gradt t n
边界条件 第一类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值： 稳态导热： tw = const 非稳态导热： tw = f (x,y,z,) 例：
tw1
tw2 o
x
第二类边界条件
已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：
qw
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的 温度梯度值 根据傅里叶定律：
2 2 2 t t t t Qv 2 2 2 c x y z c
热扩散率
a c
物性参数、c和均 为常数,无内热源 物性参数为常数， 无内热源,稳态 物性参数为常数， 无内热源,一维稳态
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
2 2 2
z
2 2 2 t t t Qv t 2 2 2 c x y z c
dQz+dz dQy
dQx
dQy+d
y
dQx+d
x
导热微分方程式 导热过程的能量方程
dQz
x
y
三维非稳态常物性导热微分方程式
二、导热微分方程式的简化
三、温度梯度（Temperature gradient）
温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量 等温面上没有温差，不会有热传递 不同的等温面之间，有温差，有导热 系统中某一点所在的等温面与相邻等温 面之间的温差与其法线间的距离之比的 极限为该点的温度梯度，记为gradt
t t t t t gradt Lim n i j k n 0 n n x y z
在导热体中取一微元体
根据能量守恒定律，单位时间内微元体热平衡的
关系式：
导入与导 出净热量 1
微元体产 ＋ 生的热量
2
＝
微元体的 内能变化量
3
1 导入与导出微元体的净热量
单位时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入 的热量：
z
dQz+dz dQy
dQx
y 2 t tdQz 单位时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面 x 2 dx dydz 导出的热量： x x
2 2 2
净热量：
t t t 2 2 2 dxdydz x y z
2 单位时间微元体内热源的发热量
dQv Qv dxdydz
3 单位时间微元体热力学能的增量
t dU c dxdydz
净热量＋内热源发热量= 内能增量
t t t t 2 2 2 dxdydz Qv dxdydz c dxdydz x y z
牛顿冷却定律： 傅里叶定律：
t f, h
qw
t n w (tw t f )
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
本章作业
2-2, 2-5
热扩散率a
a c
分子是物体的导热系数。
dQx dQx dx
2t 2 dxdydz x
单位 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
dQy dQy dy
2t 2 dxdydz y
单位 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQz dQz dz
2t 2 dxdydz z
W (m C)
物理意义：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时 间内通过单位面积的热量。
表征物质导热能力大小，由实验测定。
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等 导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质导热机理
气体的导热系数 固体的热导率
二维温度场： 三维温度场：
一维稳态温度场：
二、等温面与等温线
等温面：同一时刻、温度场中所有 温度相同的点连接起来所构成的面
Biblioteka Baidu
等温线：用一个平面与各等温面相
交，在该平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断， 它们要么封闭,要么终止于物体表面上 (3) 等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流 密度的相对大小 (4) 等温面一般都不彼此平行
是与1/(c)两 个因子的结合
越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量
分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。
c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的
热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。 a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c 之间的关系. a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力 越大，故称为热扩散率 a越大，材料中温度变化越迅速， a也是材料传播温度变化能 力大小的指标，故有导温系数之称。
第二章 导热微分方程式
§2-1 温度场和温度梯度 §2-2 导热基本定律和导热系数 §2-3 导热微分方程式及其定解条件
§2-1 温度场和温度梯度
一、温度场（Temperature field）
各时刻物体中各点温度分布的总称 温度场是时间和空间的函数 t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标 稳态温度场 非稳态温度场 一维温度场： 稳态导热 非稳态导热
初始条件
边界条件
单值性条件
几何条件 说明导热体的几何形状和大小 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等
物理条件 说明导热体的物理特征 如：物性参数 、c 和 的数值，是否随 温度变化；有无内热源、大小和分布； 初始条件 又称时间条件，反映导热系统的初始状态 稳态导热过程不需要时间条件——与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布 边界条件 说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相 互作用的条件 分类：第一类、第二类、第三类边界条件
t+Δ t t
t-Δ t
§2-2 导热基本定律和导热系数
一、傅里叶定律（Fourier’s law）：1822年，法国数学家 傅里叶(Fourier)在实验研究基础上，发现导热基本规律
导热基本定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度 成正比而方向相反
t q n
t q gradt n n
b) 非金属的热导率：
液体的导热系数
T 导热系数 主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞
不同物质的导热系数
温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向
四、热流密度矢量(Heat flux)
热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量 不同方向上的热流密度的大小不同
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度
的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
直角坐标系中：
温度梯度和热流密度的方向都是在等温 面的法线方向。由于热流是从高温处流 向低温处，因而温度梯度和热流密度的 方向正好相反。
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
d 2t 0 2 dx
拉普拉斯方程
三、其他坐标下的导热微分方程
d 2t 0 2 dx
直角坐标
对于圆柱坐标系
d dt r 0 dr dr
d 2t 1 dt 0 2 dr r dr
四、导热过程的单值性条件
稳态导热： 特例：绝热边界面：
非稳态导热：
思考
等温线与绝热边界位置关系应该为垂直相交 _______， 不 存在热量传递，沿绝热边界 沿等温线______ 可能会 存在热量传递。 _________
第三类边界条件 当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知 任一时刻边界面周围流体的温度 t f 以及边界与 流体之间的复合换热系数
导热系数λ的取值
λ＝const，不考虑温度对其影响
0 (1 bt ) ，认为λ是温度的线性函数
§2-3 导热微分方程式及定解条件 一、导热微分方程式
傅里叶定律： 确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场 首要任务 理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒定律 假设： (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知
导热微分方程式的理论基础： 傅里叶定律+能量守恒定律 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉 及具体、特定的导热过程。通用表达式。
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明 条件的唯一解 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件 完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项： 几何条件 物理条件
dQy+d
dQx+dx
dQx dx
t qx dx dydz t dx dydz x x
y
单位 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQx dQx dx
2t 2 dxdydz x
单位 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
固体 液体 气体 金属 非金属
气体 0.006～0.6W / m C
液体 0.07～0.7W / m C
金属 2～410W / m C
当λ <0.12 W/(m℃)(GB4272-92)时， 这种材料称为保温材料。高效能的保 温材料多为蜂窝状多孔结构。 1.防潮 2.避免挤压 3.在中低温中
[W m ]
2
矢量形式
t dQ dA qdA n
标量形式
热导率（导热系数）
傅里叶定律只适用于均质各向同性材料的纯导热现象： 热导率在各个方向是相同的
二、导热系数（Thermal conductivity）
由傅利叶定律得到(标量形式):
q q / gradt t n
边界条件 第一类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值： 稳态导热： tw = const 非稳态导热： tw = f (x,y,z,) 例：
tw1
tw2 o
x
第二类边界条件
已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：
qw
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的 温度梯度值 根据傅里叶定律：
2 2 2 t t t t Qv 2 2 2 c x y z c
热扩散率
a c
物性参数、c和均 为常数,无内热源 物性参数为常数， 无内热源,稳态 物性参数为常数， 无内热源,一维稳态
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
2 2 2
z
2 2 2 t t t Qv t 2 2 2 c x y z c
dQz+dz dQy
dQx
dQy+d
y
dQx+d
x
导热微分方程式 导热过程的能量方程
dQz
x
y
三维非稳态常物性导热微分方程式
二、导热微分方程式的简化
三、温度梯度（Temperature gradient）
温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量 等温面上没有温差，不会有热传递 不同的等温面之间，有温差，有导热 系统中某一点所在的等温面与相邻等温 面之间的温差与其法线间的距离之比的 极限为该点的温度梯度，记为gradt
t t t t t gradt Lim n i j k n 0 n n x y z
在导热体中取一微元体
根据能量守恒定律，单位时间内微元体热平衡的
关系式：
导入与导 出净热量 1
微元体产 ＋ 生的热量
2
＝
微元体的 内能变化量
3
1 导入与导出微元体的净热量
单位时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入 的热量：
z
dQz+dz dQy
dQx
y 2 t tdQz 单位时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面 x 2 dx dydz 导出的热量： x x
2 2 2
净热量：
t t t 2 2 2 dxdydz x y z
2 单位时间微元体内热源的发热量
dQv Qv dxdydz
3 单位时间微元体热力学能的增量
t dU c dxdydz
净热量＋内热源发热量= 内能增量
t t t t 2 2 2 dxdydz Qv dxdydz c dxdydz x y z
牛顿冷却定律： 傅里叶定律：
t f, h
qw
t n w (tw t f )
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
本章作业
2-2, 2-5
热扩散率a
a c
分子是物体的导热系数。
dQx dQx dx
2t 2 dxdydz x
单位 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
dQy dQy dy
2t 2 dxdydz y
单位 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQz dQz dz
2t 2 dxdydz z
W (m C)
物理意义：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时 间内通过单位面积的热量。
表征物质导热能力大小，由实验测定。
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等 导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质导热机理
气体的导热系数 固体的热导率
二维温度场： 三维温度场：
一维稳态温度场：
二、等温面与等温线
等温面：同一时刻、温度场中所有 温度相同的点连接起来所构成的面
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等温线：用一个平面与各等温面相
交，在该平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断， 它们要么封闭,要么终止于物体表面上 (3) 等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流 密度的相对大小 (4) 等温面一般都不彼此平行
是与1/(c)两 个因子的结合
越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量
分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。
c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的
热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。 a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c 之间的关系. a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力 越大，故称为热扩散率 a越大，材料中温度变化越迅速， a也是材料传播温度变化能 力大小的指标，故有导温系数之称。
第二章 导热微分方程式
§2-1 温度场和温度梯度 §2-2 导热基本定律和导热系数 §2-3 导热微分方程式及其定解条件
§2-1 温度场和温度梯度
一、温度场（Temperature field）
各时刻物体中各点温度分布的总称 温度场是时间和空间的函数 t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标 稳态温度场 非稳态温度场 一维温度场： 稳态导热 非稳态导热
初始条件
边界条件
单值性条件
几何条件 说明导热体的几何形状和大小 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等
物理条件 说明导热体的物理特征 如：物性参数 、c 和 的数值，是否随 温度变化；有无内热源、大小和分布； 初始条件 又称时间条件，反映导热系统的初始状态 稳态导热过程不需要时间条件——与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布 边界条件 说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相 互作用的条件 分类：第一类、第二类、第三类边界条件
t+Δ t t
t-Δ t
§2-2 导热基本定律和导热系数
一、傅里叶定律（Fourier’s law）：1822年，法国数学家 傅里叶(Fourier)在实验研究基础上，发现导热基本规律
导热基本定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度 成正比而方向相反
t q n
t q gradt n n