函数的基本性质单调性最值

（一）函数单调性的定义

1. 增函数与减函数

一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，

增函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。

减函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。 说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x

y 1

=

不能说 )0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。 2. 函数的单调性的定义

如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。

例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性． （1）1

y x x

=+

；

（2）1

1y x

=-；

例2 指出下列常见函数的单调性： （1）y c =（c 为常数）；

【析】y 不随x 的增大而改变，无单调性． （2）y ax b =+（0a ≠）；

【析】0a >，函数在R 上递增；0a <，函数在R 上递减． （3）2y ax bx c =++（0a ≠）； 【析】0a >，函数在(,)2b a

-∞-

上递减，在(,)2b

a -+∞上递增；

0a <，函数在(,)2b a

-∞-

上递增，在(,)2b

a -+∞上递减．

（4）k

y x

=

（0k ≠）； 0k >，函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递减； 0k <，函数在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递增．

（5）y x =；

函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增． （6

）y = 函数在(0,)+∞上递增．

3. 判断函数单调性的方法和步骤

（1）利用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； ②作差f （x 1）－f （x 2）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）；

⑤下结论（即指出函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性）。

（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 例题分析

证明：函数1

()f x x

=

在(0,)+∞上是减函数。 证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <，

则21

121212

11()()x x f x f x x x x x --=-=，

由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >

所以，1

()f x x

=在(0,)+∞上是减函数。

练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3

()1f x x =+的单调性。

2

．根据单调函数的定义，判断函数()f x =

3．函数c bx x y ++=2

))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-

（ ）

A ．1=y

B ．21+-=

x

x

y C ．122

---=x x y D ．2

1x y +=

6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ）

A ．)()(21x f x f <

B ．)()(21x f x f >

C ．)()(21x f x f =

D ．无法确定

7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ）

A ．]8,3[

B ． ]2,7[--

C ．]5,0[

D ．]3,2[-

8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则

（ ）

A ．21-

>k B ．2

1

-b D ．0>b

9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ）

A ．)2()2()3(f f f <<

B ．)2()3()2(f f f <<

C ．)2()2()3(f f f <<

D ．)3()2()2(f f f <<

（3）复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在]

,[b a 上也是单调函数。

①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

例6 判断下列函数的单调性，并写出函数的单调区间．