方阵高次幂的计算方法[开题报告]

毕业论文开题报告

数学与应用数学

方阵高次幂的计算方法

一、选题的背景、意义

矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是研究线性方程组系数而产生的，矩阵是数学中的一个重要的基本概念，代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，从行列式的大量工作中明显的看出，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都是可以研究和使用的，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

英国的凯莱是首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来的数学家，同时他首先引进了矩阵以简化记号，并系统地阐述了矩阵的理论。他在《矩阵论的研究报告》中定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，另外他还给出了方阵的特征方程和特征根以及有关矩阵的一些基本结果。

在矩阵的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念。1854年，约当研究了矩阵化为标准形的问题。1892年，梅茨勒引进了矩阵的超越函数的概念并将其写成矩阵的幂级数形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适应方程发展的需要而开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。矩阵论作为一种基本工具，在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等有着广泛的应用。这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵论的发展。而矩阵是线性代数中一个很重要的组成部分，它几乎贯穿于线性代数的各个章节，在自然科学各分支及经济管理等不同的学术领域和实际应用中已经起着不可替代的作用。用矩阵的理论和方法处理现代工程技术中的各种问题更加普遍。在工程技术中使用矩阵理论不仅使工程理论表达形式更加简洁，而且对理论实质的刻画更加深刻。计算机的普及和计算方法的发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使工程技术的研究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，

例如系统工程、优化方法、稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密结合。在矩阵函数及差分方程组的研究中，常常涉及到矩阵方幂的计算。因此，总结并探讨矩阵方幂的计算方法使其在不同学术范畴中发挥不可替代的作用有重要意义。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

结合《高等代数》等课程的学习，通过查阅相关的文献资料，总结现有的矩阵高次幂的计算方法，探讨一般矩阵高次幂的计算方法，并通过这些方法计算某些矩阵的高次幂。

1、总结一些特殊矩阵高次幂的计算方法；

2、总结并探讨一般矩阵高次幂的计算方法；

3、用这些方法计算某些矩阵的高次幂。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

研究方法与技术路线：

通过查阅相关文献资料，总结一些特殊矩阵高次幂的计算方法。在现有的计算方法的基础上，总结并探讨一般矩阵高次幂的计算方法。通过观察矩阵自身的特点，综合运用不同的方法计算矩阵的高次幂。

研究难点：

针对不同的矩阵，探究它们具有的性质，采用合理简洁的计算方法，减小矩阵高次幂的计算量。

预期达到的目标：

总结并探讨特殊矩阵和一般矩阵高次幂的计算方法，运用这些方法计算某些矩阵的高次幂。全文思路清晰、行文流畅，对写作中涉及的难点能有一定的突破。

四、论文详细工作进度和安排

1、第七学期第9周至第11周

论文选题，查阅文献，收集信息，对材料进行加工整理；

2、第七学期第12周至第18周

收集、整理、分析资料，写出文献综述及开题报告，完成外文翻译；

3、第八学期第1周至第3周

毕业论文的撰写，完成毕业论文的初稿；

4、第八学期第4周至第10周

对毕业论文的初稿进行多次修改；

5、第八学期第11周至第12周

对毕业论文的修改稿进一步完善；

6、第八学期第12周至第13周

对论文进行深入研究，弥补不足之处，最后定稿，准备好答辩。

五、主要参考文献：

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