第五章连续体力学

(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
解： (1)在离O点r处取微元dr，则
Z
Hale Waihona Puke Baidu
dm dr ?
O
设 kr 则：
0
l
dr
l krdr 1 kl2 m
0
0
2
2m l2
r
J0
r2dm
m
l 0
2mr 2 l 2 rdr
mr 4 2l 2
l 0
1 2
解: (1)
d 12t2 d 24t
dt
dt
an R 2 0.1 482 230.4(m / s2 )
at R 0.1 48 4.8(m / s2 )
(2) an R 2 14.4t 4 at R 2.4t
tg45 at / an 1 14.4t 4 2.4t
t 0.55s ( 舍去t = 0 和 t = －0.55 )
2
a R2
① m2
R2
T2
对m1 : m1g T1 m1a ②
m2g
对m2 : T2 m2 g m2a ③
对M1
:
( T1
T3
)R1
1 2
M1 R12 1
④
M1
R1
T1 m1
m1 g
对M 2
:
(T3
T2 )R2
1 2
M2 R22 2
(5)
对④：1
a R1
1 T1 T3 2 M1a
ml 2
（2）细棒上距O点r处长dr的线元所受的摩擦力和对O点的 摩擦力矩：
df
dm g
gdr
g
2m l2
rdr
dM
rdf
2mg
l2
r
2dr(选z方
向
为
正
）
M0
dM
M
l 0
2mg
l2
r
2dr
2 3
mgl
（3）由角动量原理
t
0 Mdt J J0
2 3
mglt
1 2
ml
20
t 3l0 / 4g
刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要 定律，下面举例说明转动定律的应用。
[例1] 如图所示，m1，m2，R已知。求m2的加速 度a；轮子的角加速度β.
解: 对m1分析力矩；对m2分析力
m2g T m2a
(1)
TR J
(2)
又有
J
1 2
m1 R 2
(3)
m1 R
T
m2 m2 g
a R
(4)
MZ
r
F面
Fz 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。
F
Ft
F面
Fn
3. 当有n 个力作用于刚体，则
M z M1z M 2z M nz
即定轴转动的刚体所受到的对转轴的合力矩应等于各
力对转轴的力矩的代数和。
z
4. 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。
O
d
考察一个以角速度ω绕OZ轴转动的均匀细棒
质元 mi
Lio mi
R对i O点vi 的元角动L量io :
mi
vi
Ri
L
均匀细棒对O点的角动量
Lo (mi Ri vi ) Lo mi Rivi
均匀细棒对O点的角动量在Z轴上的分量
Lz mivi Ri cos miviri
z o
Li ri
第五章 连续体力学
连续体包括弹性固体、流体（液体和气体） 理想模型：刚体、弹性体、理想流体 本章重点介绍刚体和理想流体的力学规律。
§5-1 刚体运动学
一、刚体的平动与转动
1. 刚体── 无论受多大的力，都不发生形变的物体称为刚体。 刚体是一种理想模型，刚体上的任两点间的距离不 会改变。
2. 平动── 运动刚体上任意两点连线在运动中保持平行，这 样的运动称为刚体的平动。
(J )2
J
L2 2J
注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。
一般刚体动能：
Ek
Ek平
Ek转
1 2
m v2
1 2
J 2
2、力矩的功
如图所示，在外力F 作用下，刚体转
过θdA.求力F矩作dr的功F.设co力s 在转d动s 面内
F cos rd
rr21
1
f21
f12 1 2
2
总结
❖ 与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩 ❖ 与转轴平行的力对转轴不产生力矩 ❖ 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩
四、 刚体的角动量原理
刚体→质点系(由无限多个质元构成的连续体)
质点系的角动量原理
M外
dL dt
即，L
t2
t1
M外dt
同样适用于刚体
五. 刚体的角动量守恒定律
⑥
对⑤： 2
a R2
T3
T2
1 2
M2a
⑦
②③⑥⑦两端相加：
a
2(m1 m2 )g （2 m1 m2） M1
M2
T1
m1 g
m1a
4m1m2 m1( M1 M 2 ) 2(m1 m2 ) M1 M 2
T2 m2 g m2a
(略)
1
T3
m2 ( g
a)
M 2
2a
(略)
本题中 T1 T2 T3 当M 1,M2质量可以忽略时T1= T2= T3
[例6]太阳自转周期为25.3天，若在演化过程中最后缩为 半径5km中子星，而无质量损失，试估算其新的自转周期。
解:已知 R1 6.96 108
自转角速度
1
2
T1
T1 25.3 24 3600 2.2 106 (s)
转动惯量
J1
2 5
mR12
设缩后的角速度为 ，转2 动惯量为
J2
2 5
mR22
m, l
M mgl sin mg l sin 3 mgl sin
2
2
m
由转动定律得: M 9g sin
J
8l
又 d d d d dt d dt d
9g sin d
8l
d
分离变量积分得:
2
9g sin d
8l
0 d
3
2
g cos l
小球的法向加速度
an
l
2
9 4
g cos
速度v运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕
O点转动，试求∶
v
o
(1) 细棒绕O点的转动惯量；
l
(2) 碰前棒对O点的角动量；
4
(3) 碰后棒转动的角速度。
l
解:(1)
J
r 2dm
l
4
3l 4
x2
M l
dx
7 48
Ml 2
(也可由平行轴定理求J)
(2) 碰前棒作平动，对O点的角动量按质心处理。故有
x2dm y2dm J x J y
对于均匀圆盘：J x
Jy
1 2
Jz
1 4
mR2
二、作用于刚体的力矩
1. 作用于刚体的力对空间某点A的力矩
MA
rA
F
2. 作用于刚体的力对转轴的力矩
(1)力在转动平面内。
MZ
r
F
大小：M
Z
rF
sin
M z有两个方向，Mz有正负
z
A
rAFz
o r
(2)力不在转动平面内。
特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。可以用一 点代表刚体的运动。由质点的力学规律解决刚体
的平动问题。 例：黑板擦、电梯、活塞的运动
注意： 刚体平动时，质点的轨迹不一定是直线。
由于在定轴转动中轴的方位不变，故
,
只有沿
轴的正负两个方向，可以用标量代替。
y
刚体作匀变速转动时，相应公式如下：
0
0
2
2
（适用圆柱对轴线的转动惯量。）
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
Jz＝Jx＋ Jy
J 1 mR2 md 2 2z
o
zy
J z r 2dm (x2 y2 )dm
Liz
Ri
O
miri2 ( miri2)
Lz J
定义：刚体转动惯量 J miri2
2、转动惯量的计算
若质量离散分布： （质点，质点系）
J＝ miri2
i
若质量连续分布：J lim ri2mi r2dm mi 0 i
J 的单位：kgm2
dm为质量元，简称质元。取法如下：
◆质量为线分布 dm dl
注意：
❖ 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言 ❖ 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,
角速度的正负 ❖ 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔
离法解题. 对转动物体用转动定律建立方程, 对 平动物体则用牛顿定律建立方程
转动定律的应用： 1. 隔离法分析研究对象 2. 建立坐标系 3. 列出分量运动方程
由角动量守恒得
J1 1 J2 2
1 2
J2 J1
R22 R12
5.1 1011
T2
1 2
T1
11.22 105
(s)
§5-3 刚体的定轴转动定律
对于作定轴转动的刚体，满足：
M
dL
dt
L,M 沿固定轴，其方向由M ,L 的符号决定。
又因： L J
ω
若J为恒量，则有上面二式得：
M J d J
dt
此式称为刚体的转动定律。它表明：刚体的角加速度正比于 刚体所受合外力矩，反比于其转动惯量。
讨论：1、M ,L 相对同一固定轴而言，M ,L 同号。
2、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴
为惯性系。
d 3、M一定：作用不同刚体上，J 大时，β 小 ， d小t ，
转速不宜改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯 性小。故转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
此时砂轮转过的角度
= (2+4t3)= 2+4X（0.55)3 =2.67(rad)
[例2]一细棒绕O点自由转动，并知 3g cos ,L为棒长.
2L
求: (1)棒自水平静止开始运动, / 3 时, ?
(2)此时端点A 和中点B 的线速度为多大?
解:(1)棒做变加速运动
d 3g cos, 又 d
◆质量为面分布 dm ds
◆质量为体分布 dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
[例1] 求质量为m，半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。
解: 设线密度为λ
dm dl
OR
2R
J R2dm R2dl R2 2R mR2
dm
[例3]如图所示m1，m2 ，M1，M2，R1，R2已知 且m1> m2 试由牛顿 定律和转动定律写出系统的运动方程，求出m2的加速度和 张力T1 ,T2, T3
解：设m2的加速度的大小为a，
方向向上，则m1的加速度的大 小也为a，方向向下，滑轮与
M2
T3
绳不打滑，则滑轮与绳的加 速度为：
1
a R1
§5-4 定轴转动刚体的动能定理
一、刚体的动能和力矩的功
1、刚体的动能
平动动能
Ek平
i
1 2
mi v i2
i
1 2
mi
v2
1 2
m v2
转动动能
Ek转
i
1 2
mi ( i ri )2
i
1 2
mi ri 2 2
1 2
(
i
mi
ri2
)
2
1 2
J 2
即：
Ek转
1 2
J
2
也可表示为：
Ek转
1 2
J 2
1 2
若
M外
0
，则L
J
常矢量
注意: (1)定轴转动时，M外=0时，J=常量，即刚体保持静止或匀
角速转动。
(2) Fi 0 不等价 M i 0
例:(i)
F1
F2
Fi 0
(ii)
F1
Mi 0
F2
Fi 0
Mi 0
[例4] 光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M的均匀细棒，以
联合解得 a 2m2 g m1 2m2
2m2 g
R(m1 2m2 )
[例2] 如图所示。m,l已知o点无摩擦.求:(1)刚体绕轴O的转动惯量。 (2)杆与竖直方向成θ角时,小球的角速度和法向加速度.
解:(1) J ml 2 1 ml 2 4 ml 2
O
3
3
(2)杆与竖直方向成θ角时,合外力矩:
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
dm ds 2rdr
J r 2dm R r 2 2r 2dr 1 R4 1 m R2
dt 2L
d
d 3g cosd
2L
d
3 3g cosd
0
0 2L
2 3g sin 3 3 g 3 3g
L 3 2L
2L
O• •B
A
由：v r 得
vA L 3 3 gL 2
vB
L 2
3 3 gL8
§5-2 刚体的角动量和角动量原理
一、刚体的角动量及转动惯量
1、刚体的角动量
L Mv l 1 Mlv 44
(3)设碰后的角速度为 .碰撞中外力矩为零,角动量守恒，
所以
1 Mlv J
12 v
4
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，
将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始
角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。
0t
1 t 2
2
P
r P
0 t
O S
2
2 0
2 (
0)
A
角量与线量的关系
A
'
x
s r , v r
at r ,
an r 2
a r 2 4
线速度v与角 速度之间的矢量r 关系为:
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。