第3章 扭转

T Me
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例 1 已知：传动轴转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA =400KW，三个从动轮输出功率分别为PB =120KW ，PC =120KW , PD =160KW。 试作扭矩图。
1.计算外力偶矩
MB
PA 400 9549 n 300
T

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3、切应力大小计算
r dA T
A
dA
dA
r dA T
A
r
r 2 r T
T 2 r 2
根据精确的理论分析, 当t≤r/10时, 上式
的误差不超过4.52%,是足够精确的。
T3 5.10(kN m)
3.画扭矩图
T2
B C MD
T (kN m)
5.10
T3
x
3.82 7.64
B
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§3-3
纯剪切
一. 薄壁圆筒的扭转时的切应力 D t
D / t 20
1、变形现象观察：
（1）圆周线的形状、大小不变；两 相邻圆周线的距离不变，只是 发生相对转动。 （2）各纵向线仍互相平行，但都倾 斜了角度γ；由纵向线和周向线 构成的正方形，变成了棱形。
Me
Me
M el Tl GI P GI P
Me l T 2l Vε 2GI P 2GI P
2
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2、扭转时的剪切应变能密度 对薄壁圆筒扭转：
Me
应变能密度：
1 M e —— 总应变能 2 —— 体积 V 2rtl Vε
低碳钢拉伸与压缩试验： 4个阶段： 5个指标： P , s , b , , 几种现象： 铸铁拉伸与压缩试验：
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三、拉压强度条件及其应用
FN 的确定： s A ns 强度计算的三类问题： F 强度校核： N A F 截面设计： A N

或
b
nb
许用载荷计算：FN A

四、杆件的变形与超静定问题求解
静不定问题的求解步骤： 建立静力平衡方程 建立变形协调方程 —— 得到补充方程
建立物理方程（胡克定律）
将平衡方程与补充方程联立求解
五、剪切与挤压的实用计算
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§3-2
一、外力偶矩计算
动力传递和扭矩
一般有三种情况给出： 1、直接给出作用在轴上的外力偶矩的大小 2、通过外力平移计算得出
M Fa
3、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速计算得出
Me
Me
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§3-1
引
言
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传动轴将产生扭转
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Me Me
受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的 外力偶（扭力偶）。 变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
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§3-4
圆轴扭转横截面上的应力
如何计算汽车传动轴内的应力? 为什么传动轴的横截面为空心?
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圆轴扭转时的应力 从三方面考虑：
1 2 3
变形几何关系 物理关系 静力学关系
Me Me
1 M e r Vε M e 1 vε V 2 2rtl 2 2r 2t l
利用剪切胡克定律：
vε
1 vε 2
—— 适用于任何情况。

G
G 2 或 vε 2
(3.23)
Vε v dV
V
2
2G
—— 适用于剪应Baidu Nhomakorabea小于比例极限的情形。
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二、纯剪切与切应力互等定理
组成顺时针转向力偶，其矩为
(tdy)dx
由于微体处于平衡状态，则必有
a

d

c
组成逆时针转向力偶，其矩为
( tdx)dy m 0 ( tdx)dy (tdy)dx 0
d G IP T dx
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d G IP T dx
(3.8)
d T dx GI P
d G dx T G GI P T IP
Tρ IP
(3.9)
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剪应变，是一个角度量。 当剪应力不超过材料的剪切比例极限，剪 应力就与剪应变成正比，即：
G
其中：G是比例常数，称为剪切弹性模量， 上式为剪切胡克定律。 对于各向同性材料，有：
G
E 2(1 )
A3钢：G=80GPa
所以，各向同性材料只有两个独立的弹性常数。
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一、传动轴的外力偶矩计算
设传动轴传递的功率为：P（kW） 传动轴的转速为：n（r/min） 由力偶的功率： 用转速 n 表示：
P M e
2n P Me 60
ω—— 角速度，Me 为外力偶矩。
P(kW) M e 1000 n(r / min)
30
P M e 9549 n
4
1 1
B
MC
MA
MD
M A 9549
1.27 10 (N m)
同理可得： M 3.82 103 (N m) MB C
C
MB
A
D
M D 5.10 103 (N m)
2.计算扭矩
M
得：
T1
T1 M B 0
x
0
B
T1 M B 3.82(kN m)
二、扭矩与扭矩图 1.扭矩 —— 受扭构件截面上的内力 用“ T ”表 由截面法（取左段）：示
Me
M
x
0, T M e 0
T Me
Me Me T
n
由截面法（取右段）：
M
x
0, M e T 0
T M e
扭矩正负号规定： 将扭矩按右手法则表示成矢量T，若其方向与截 面的外法线方向一致，此扭矩为正，反之为负。 2.扭矩图： 以扭矩T为纵坐标，截面位置为横坐标，杆件沿 轴线方向扭矩的变化曲线 —— 扭矩图
得
b
表明：

—— 切应力互等定理
两互相垂直的平面上，切应力成对存在且数值相等；两者都垂 直于两平面的交线，方向则共同指向或背离此交线。
单元体上只有切应力，而无正应力。 —— 这种应力状态称为纯剪切。
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三、剪切胡克定律 —— 直角的变化量称为切应变也叫
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实验观察
M
圆周线
纵向线
M
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没
有变化，但都绕轴转过了不同的角度;
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度
。
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四、 剪切应变能
1、剪切应变能 弹性体变形过程中，外力所作的功 W 数 值上等于储存于弹性体内的应变能 Vε ，即：
Me
1 U T 对等截面圆轴，T 不变情形： 2 在线弹性阶段（ τ <τ P）时，
Vε W 1 W dW M e d M e 0 2 1 Vε W M e 2
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2. 变形现象分析推断：
（1）由两相邻圆周线的距离不变， 且无轴向外力，说明截面上无 轴向正应力，只有切应力。 （2）各纵向线仍互相平行，但都 倾斜了相同角度γ说明沿圆周 上各点的切应力相同；
（3）由壁 t 很薄，近似认为筒内与筒 表面的变形相同，即切应力沿壁 厚方向均匀分布。
Ip d A
2 A
4
d /2
2 2 π d 2 π 3 d
0 0
d /2
d πd 4 2 2π 4 32
Wt Ip
max
Ip πd 3 d 16 2
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P M e 7030 n
( 单位：N· ) m 式中： 功率 P 的单位 转速 n 的单位 ( 单位：N· ) m 式中： —— kW —— r/min
功率 P 的单位 转速 n 的单位
—— 马力 —— r/min
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T max
0

R
max
T TR IP IP R
抗扭截面系数
T IP
IP 令： W t R
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
max
现在的问题是如何求
I P和 Wt
T Wt
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下面求极惯性矩 I p和抗扭截面系数 Wt ：

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3、静力学关系
dA T
A
T
0
d G dx

dA
d G dx dA T A
d G dx
T

0
2 dA T
A

令：
dA I P
2 A
极惯性矩
第3章 扭 转
基本内容： ※ 扭转时杆件的内力（扭矩）、扭矩图； ※ 薄壁圆筒扭转、剪切胡克定律、剪应力互等定理； ※ 圆轴扭转时截面上的剪应力及分布； ※ 圆轴扭转破坏与强度条件； ※ 圆轴扭转变形与刚度条件； 要点： ※ 扭转时杆件的内力（扭矩）、扭矩图； ※ 圆轴扭转破坏与强度条件； ※ 圆轴扭转变形与刚度条件；
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内容回顾
一、基本概念及基本量
轴力：FN —— 截面法、轴力图 F 应力： N A F l 变形： l N EA 应变： （轴向应变） （横向应变） E
二、材料的力学性能 （材料的机械性质）
对于空心圆，内径为 d，外径为 D：
π(D4 d 4 ) I p 2 d A 2 2 π d 32 d /2 A
d dx d ——单位长度扭转角 dx
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2. 物理关系
根据剪切胡克定律, 当切应力不超过材料的 剪切比例极限时
d G G dx 切应力方向垂直于半径 max
(3.7)
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2.计算扭矩
MB
T1 M B 0
1 1
B
MC
MA
MD
2 2
C MB MC
3 3
A D
M
x
0
得：T1 M B 3.82(kN m) 同理可得：
T2 M B M C 7.64(kN m)
平面假设：
M
M
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它 像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
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1 变形几何关系
M
Rd dx

M
变形前 变形后
d x d

d R dx

d

d
dx
dx