重庆市万州分水中学高中数学《1.3.2函数的极值与导数》导学案 新人教A版选修2-2

重庆市万州分水中学高中数学《1.3.2函数的极值与导数》导学案 新

人教A 版选修2-2

学习目标

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3.掌握求可导函数的极值的步骤.

复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.

复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .

二、新课导学

学习探究

探究任务一：

问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？

看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.

新知：

我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的 ，

刻画的是函数的 .

试试： （1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.

(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.

(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.

反思：极值点与导数为0的点的关系：

导数为0的点是否一定是极值点.

比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.

即：导数为0是点为极值点的 条件.

典型例题

例1 求函数31443

y x x =-+的极值.

变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象

经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.

小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域；

(2)求导数f ′(x )；

(3)求方程f ′(x )=0的根

（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

.

变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+.

（1）写出函数的递减区间；

（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.

动手试试

练1. 求下列函数的极值：

（1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；

（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.

练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.

三、总结提升 学习小结

知识拓展

函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.

由些可见：“有极值但不一定可导”

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）

A ．有极大值，没有极小值

B ．有极小值，没有极大值

C ．既有极大值又有极小值

D ．既无极大值也极小值

2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）

A ．3269y x x x =++

B ．3269y x x x =-+

C ．3269y x x x =--

D ．3269y x x x =+-

3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）

A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=

B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=

C ．1,5a b =-=

D ．以上都不正确

4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为

课后作业

1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？

（2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？

2. 求下列函数的极值：

（1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.