第4章根轨迹法.

则必有会合点
分离点实际上是相同的闭环
特征值，即特征方程有重根
【例 4】 绘制图示系统的根轨迹
R( s )
K * ( s 1) s ( s 2)( s 3)
C (s)
解（1）开环零点
z1 1 p1 0 , p 2 2 , p3 3
开环极点
根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。 （2）实轴上根轨迹
[3, 2] , [1, 0]
（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点
(2k 1)180o a 90o (3 1)
(0 2 3) (1) a 2 (3 1)
（4）分离点及分离角 N ( s) s 1 D(s) s(s 2)(s 3)
(2k 1) , k 0,1,2 60,180,300 3

法则5：分离点与会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇 又立即分开的点称为分离点(会合点)。
根轨迹出现分离点说明了什么问题？
特征方程出现了重根。
分离点(会合点)
坐标 d 可由下列方法确定
M ( s) 1 0 M ( s) N ( s) 0 N ( s)
特征方程的系数为实数，特征方程的根为实 数或共轭复数，因而对称于实轴 当参量K*有微小的增量时，其特征根也会有 一个微小的增量，因此根轨迹连续

法则3：实轴上的根轨迹
若实轴的某一个区间是一部分根轨迹，则必有： 其右边的开环实数零点数与开环实数极点数之 和为奇数。
开环传函 Gk ( s ) K
m
(
j 1 n i 1
m
j
s 1) K*
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(T s 1)
i j
(s p )
i
KK
*
z
j 1 n i 1
根轨迹方程
p
K 系统开环增益 K * 根轨迹增益
i
1 Gk (s) 0
定义

2.根轨迹对系统性能的影响
（1）稳定性
K K 2.5
j
2 1
K 1
K 0
考察根轨迹是否进入右半 s 平面。
（2）稳态性能
2
1
0

开环传递函数在坐标原点有一个极点， 系统为I型系统，根轨迹上的K值就是 静态误差系数。。
（3）动态性能
K 0.5
1 2
0<K<0.5: 实数极点，过阻尼，非周期阶跃响应 K>0.5：共轭复数极点，欠阻尼，阻尼震荡响应 可分析超调量和调节时间与K关系
开环增益K从零变到无穷，可 以用解析方法求出闭环极点。
K： 0 0.5 1 2.5 s1 : 0 1 1 j 1 2 j 1 j s2 : 2 1 1 j 1 2 j 1 j
K 0
2 1
K 1
2
1
0

K 0.5
1 2
与实轴交点
a
i 1
pi z j
j 1
n
m
nm
证明：
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成 角度相同，都设为
a a
i
相角条件
(s z ) (s p ) (2k 1) (k 0, 1, 2,
j 1 j i 1
低阶方程：求根公式，解析法绘制根轨迹 高阶方程：？ Evans提出根轨迹法(图解法)
3. 根轨迹方程 控制系统如图所示
R( s ) C ( s)
G ( s)
开环传函 Gk (s) G(s) H (s)
H (s)
G( s) G( s) 闭环传函 ( s) 1 G( s) H ( s) 1 G k ( s)
分离点
N (s) D(s) N (s) D(s) 0
分离角：根轨迹进入分离点和会合点的切线方向与
离开分离点和会合点的切线方向之间的夹角
(2k 1)180 d ， l 0,1, l
, l 1
l 相分离的根轨迹支数
若相邻两极点间有根轨迹， 则必有分离点 若相邻两零点间有根轨迹，
重根法
N ( s) 闭环特征方程： 1 K 0 D( s )
*
即： D(s) K * N (s) 0
F (s) D(s) K * N (s)
* F ( s ) D ( s ) K N ( s) 0 有重根，必存在： * F ( s ) D ( s ) K N ( s) 0

4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 小结
§4-1根轨迹法的基本概念

1. 相关概念
根：闭环特征方程的解
举例
根轨迹：开环系统(传递函数)的某一个参数从
零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 特征方程根
信息控制类专业最重要的专业基础课之一
Hale Waihona Puke Baidu自动控制原理
——第4章 根轨迹法
张晓玲
信息与计算科学系

根轨迹方法的研究背景
系统的稳定性和动态性能与闭环传递函数的零
极点有着密切关系
1948年，W
R Evans提出根轨迹法（作图法）: 利用开环传递函数分析闭环特征方程根的变化
第4章 线性系统的根轨迹法
m
n
)
m a n a (2k 1)
a
也可写为
(2k 1) , k 0,1,..., n m 1 nm
(2k 1) mn
交角有n-m个，交点只有一个
【例3】一个系统开环传递函数为
K * ( s 1) GK ( s) s( s 4)( s 2 2s 2)
j 1 i 1
m
n
( s pi )
K* 0
s pi , i 1,, n
所以，根轨迹起于开环极点(n个)
根轨迹方程如下:
K * ( s z j ) ( s pi ) 0
j 1 m i 1
m
n
1 n 根轨迹方程变化为： ( s z j ) * ( s pi ) 0 K i 1 j 1
-5 -5 -4 -3 -2 -1 Real Axis 0 1 2 3
Imaginary Axis
=-1.67
0
p3=-1+j
p2=-4
z1=-1 p4=-1-j
p1=0

p
i
z1
3
(4 2) (1) 1.67 3
例3的根轨迹 开环极点用×表示 开环零点用○表示
*
相角条件 (s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1 i 1
m
n
另外，取S2(-2,2j) 点
1 ( s2 p1 ) 3 4
2 ( s2 p2 ) 2
s1
S2与零极点的相角和为
i 0 (1 2 ) 5 4
-2 0
相角条件 (s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1 i 1
m
n
在(-2,0)之间的点s1 （-1，0） ，则
j
1 (s1 p1 ) s1
2 (s1 p2 ) (s1 2) 0
s1与零极点的相角和为
-2
2
-1
1
0
不满足相角条件，s2不在根轨迹上
§4-2 根轨迹绘制法则

法则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始 于开环极点， 终止于开环零点。
证明： 根轨迹起点: K 0 根轨迹终点: K
*
*
根轨迹方程如下:
K*
(s z
j 1 n i 1
m
j
) 1
K * ( s z j ) ( s pi ) 0
确定根轨迹上某一点的K*值时，才使用模值 条件
【例2】开环传函如下，判断S1 ( -1，0)和S2 ( -2，2j) S3 ( -1，j)是否在根轨迹上
K 2K GK ( s) 1 s(0.5s 1) s( s 2)
根轨迹增益K*=2K
开环极点个数N=2, 开环零点 个数m=0 开环极点为P1=0,p2=-2 系统的零极点分布如图所示
N (s) D(s) N (s) D(s) 0 分离点 d 2.47 2.47
i
相角条件（幅角条件）：
(s z ) (s p ) (2k 1) (k 0, 1, 2,
j 1 j i 1 i
m
n
)
幅值条件（模值条件）：
K*
i 1 m
s pi szj
j 1
n
说明：
相角条件是绘制根轨迹的充分必要条件
要确定一个测试点是否在根轨迹上，只需要 看其是否满足相角条件
s p3 180
z3
z2
s
s z3 0
s p2
p3 0
s z2 p2

法则4：根轨迹渐近线
当
n>m 时，则有(n-m) 条根轨迹分支终止于无 限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线 由与实轴的夹角和交点来确定。
与实轴夹角 a (2k 1)180 , k 0,1,..., n m 1 nm
*
4)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为 pi z1 (4 2) (1) 1.67 3 3 与实轴交角为
(2k 1) , k 0,1, 2 60,180,300 3
例4.2.1
5
一条根轨迹起于p1, 终止于z1 其他三条终止于无 穷远处 有三条渐近线
闭环极点 系统的性能（稳定性和动态性能）
【例1】 求二阶系统的根轨迹
C (s) 2K ( s ) 2 R( s ) s 2 s 2 K
R(s)
K s (0.5 s 1)
C(s)
特征方程：D(s) s2 2s 2K 0
K K 2.5
j
s1, 2 1 1 2K
K
*
(s z
j 1 n i 1
m
j
) 1
(s p )
i
K * : 0 时求根s，即可在s平面上绘制出根轨迹
K
*
(s z
j 1 n i 1
m
j
) 1 K
*
sz
j 1 n i 1
m
j
(s p )
i
s p
e j 1e j ( 2 k 1)
证明：根轨迹上的点必须满足相角条件

j 1 j i 1
m
n
i
(2k 1) ,

k 0,1,2

s z1 s z 2 360 或0
s z1 z1
s p1
p1
j
s p1 s p2 360 或0
K*
s z j , j 1,, m
所以根轨迹终于开环零点(m个) 一般情况下 n > m 另nm条根轨迹终于无穷远处
开环零点数(有限零点＋无限零点)＝开环极点数
法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性
分支数＝MAX（n,m）
G( s) H ( s) M ( s) N ( s)
j 1
n
K * | s1 0 | | s1 2 | | 1| |1| 1
s3
-2
K* K 0.5 2
将 s3 1 j 代入幅值条件
K * | s3 0 | | s3 2 | | 1 j | |1 j | 2
s1
-1
0
K K 1 2
j i 0 (1 2 )
-2
2
s1
1
0
s1满足相角条件，在根轨迹上
注：(-2,0)之间的实轴上的点都在根轨迹上。同理可 以推导，(-2,0)之间垂直平分线上的点也在根轨迹上
幅值条件 K * 将
s1 1 代入幅值条件
i 1 m
s pi szj
根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性 解：1)根轨迹起始于开环极点
p1 0, p2 4, p3 1 j, p4 1 j
终于开环无穷远零点和有限零点 z1 1 2) 根轨迹有4条，且对称于实轴 3）实轴上的根轨迹 (-∞,-4] [-1 0]
K ( s 1) GK ( s) s( s 4)( s 2 2s 2)