微积分格林公式

例4、设D是包含原点的有界闭区域,求 xdy ydx. D x 2 y 2
二、曲线积分与路径无关的条件
P( x, y)dx Q( x, y)dy只与L的两个端点有关而与
L
积 分 路 径 无 关, 则 称 之Biblioteka Baidu为 积 分 与 路 径 无关, 否 则 称
与 路 径 有 关.
L1
微积分格林公式
平面区域D的正向边界曲线：当人沿这一方向行走时， 邻近的D始终位于人的左侧，常记为 D 。
D
D
2、格林公式
定理：设 有 界 闭 区 域D的 边 界 由 有 限 条 光 滑 或分 段 光 滑
的曲线所组成， 且P( x, y),Q( x, y) C (1) (D),则有
Q P
例6、设曲线积分 xy2dx y( x)dy与路径无关,其中具 L 有连 续导 数, 且(0) 0,计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
已知du P( x, y)dx Q( x, y)dy,如何求u( x, y)?
(x, y) (x0 , y)
( )d P( x, y)dx Q( x, y)dy
x y
D
D
格林公式： (Q P )d P( x, y)dx Q( x, y)dy
x y
D
D
y y y2(x)
L3 D3
A
B
D2 L2
C
L1 L2
y y1( x)
oa
bx
（1）
D
L1
(x, y)
(x0 , y0 )
(1)
( x, y0 ) ( x0 , y0 ) (2)
x
y
按（1）：u( x, y) P( x, y0 )dx Q( x, y)dy
x0
y0
x
y
按（2）：u( x, y)
P( x, y)dx
x0
y0 Q( x0 , y)dy
例7、 已知du xdy ydx ( x 0), 求u( x, y). x2 y2
B
L2
A
L3
定理：设G是平面单连通区域, P( x, y),Q( x, y) C (1) (G), 则以下四个条件等价: (1)对G内任一分段光滑闭曲线C ,
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0;
C
(2) P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路径无关; L
(3)在G内存在u( x, y)， 使du P( x, y)dx Q( x, y)dy;
Q (4)

P
在G内处处成立.
x y
关键：Q P P( x, y)dx Q( x, y)dy与路径无关. x y L
例5、计 算 ( x 2 2xy)dx ( x 2 y 4 )dy,其 中L为 L 由 点O(0,0)到 点B(1,1)的 曲 线弧y sin x . 2
全微分方程：P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ( Q P ) x y
例8、 解全微分方程 : ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy 0. 作业 习题8-4：3、4（1）（3）
D1
L
（2）
B
A （3）
面积公式：A dxdy 1 xdy ydx (P y,Q x)
D
2 D
例1、求椭圆x a cos , y bsin 所围成图形的面积A.
例2、证明 : 2xydx x 2dy 0, D 分段光滑. D
例3、求 e y2 dxdy, D是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 D 的三角形闭区域.