第二节数量积向量积混合积

数 学
M1 M3的夹角.
电 子
解:
uuuuuur
uuuuuur
M1M2 {2, 2, 0}, M1M3 {2, 0, 2}
教
案
武
汉
科
技
学
院
数
理
系
高 例3 试利用向量的数量积证明三角形
等
C
b
数 的余弦定理.
学
电 由图可见c = a--b , c2 = (a-b)2 = a2 -2a·b+b2
a
子 教
高 等
第二节 数量积 向量积 混合积
数 学
一
Байду номын сангаас
两向量的数量积
电 1,常力的功
子 教
在物理中我们知道,一物体受常力作用下沿直线从M1 移动
案
到 M2, S是它位移.则力F所做的功为
W F S cos.其中为F与S的夹角.
武 汉
F
科
技
学 院
M1 θ
数
S
M2
理
系
b
θ a
高 功是个数量,它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角
等 数 (3)向量积还符合如下的结合律:设λ是个数,则(λa) ×b=a
学 电
×(λb) =λ(a ×b)
子 5. 向量积的坐标表示式 教
案 设 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk. 根据向量积的运算规则,有
a b (axi ay j azk) (bxi by j bzk) axi (bxi by j bzk)
由向量积的定义可以得到如下的性质:
数
理
系
高 (1)a×a=0 因为| a×a|=|a||a|sin0=0.
等 数 (2)对于两个非零向量a,b.a和b平行的充分必要条件是
学 电
a×b=0.
子 因为a×b=0,且|a|≠0,|b|≠0,必定有sin(a,b)=0,即(a,b)=0,或为
教 案
π,a∥b
=a2 + b2- 2|a||b|cosθ即 c2 = a2 + b2- 2|a||b|cosθ
案
用向量的数量积证明余弦定理比中学里简单.
二, 两向量的向量积
武 汉
M
F
科
技 学 院
o
θL
数
p
理
系
高 1.引例 转动力矩(向量) M=力臂×力F. 方向由转动
等 数 方向决定.在力学中,规定力F对支点o的力矩M为
高 等 数 学 电 子 教 案
在就是两个向量数量积的坐标表示式.
武
汉 科
当a,b为非零向量时,有公式
技
学 院
cos(a, b) a b
axbx ayby azbz
.
数 理
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
系
高 等 由此可见,两个向量垂直的充要条件是
数
学
axbx ayby azbz 0
等
数 的余弦.
学 电
2, 数量积的定义
子 教
定义1:对任意两个向量a,b,数
称为向量
案 a,b的数量积,记作a·b
即
武
汉
科
技
学
院 数
根据这个定义,上面讲的功W是力F和位移S的数量积,w=F·S
理
系
高 3, 数量积的主要性质
等
数 (1)a·b=|a|Prjab=|b|Prjba
学 电
因为a·b=|a||b|cos(a,b)=|b||a|cos(b,a)=b·a
学
|M|=|F||op|sinθ
电
子 M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则.
教 案
即当右手的四指从op以不超过π的角转向F时握拳时,
大拇指的指向.
2. 向量积的定义
武 定义2 两个向量a和b的向量积是一个向量,记作a×b,并规定:
汉
科 技
(1) |a×b|=|a||b|sin(a,b).
子 |b|cos(a,b)是b 在a上的投影,即|b|cos(a,b)=prjab. 教
案 所以a·b=|a|prjab同理: a·b=|b|prjba.所以上式成立.
(2) a·b=0是向量a和b垂直的充分必要条件,这里a,b为非
零向量.
武 因为a·b=|a||b|cos(a,b).|a|≠0,|b|≠0,使a·b=0只能cos(a,b)=0.
电
子 教
例1 求向量a={5,2,5}在向量b={2,-1,2}上的投影.
案
M3
θ
M1
M2
武 汉
解:因为 a·b=|b|Prjba, 所以
科
技
学 院 数 理
Pr
jba
ab |b|
52 22
21 5 2 (1)2 22
18 3
6
系
uu 高
等
例2 已知三点M1(2,2,2)M2(4,4,2)M3(4,2,4).求向量M1 M2,
学 院
bx by bz
数
理
系
高
等 也可以把它写成展开的形式
数
学 电 子 教 案
i ab ax
bx
j ay by
k
az bz
ay by
az i ax bz bx
az j ax
反之,如果a∥b则(a,b)=0或为π,即a×b=0.
4. 向量积的运算规则
武 (1) b × a = -(a×b). 这是因为按右手法则,从b转向a和从a转向
汉
科 技
b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立.我们在运算
学
院
数 理
时要特别注意.
系
高 (2)分配律 (a+b)×c=a×c+b×c.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 由向量积的主要性质及运算规则(1),可知:
等 数
i i j j k k 0.
学
电
子
教
案
为了便于记忆,把上式写成行列式形式
i jk
武
汉 科 技
a b ax ay az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k.
证明: (a+b)·C=|C|Prjc(a+b)= |C|Prjca+ |C|Prjcb=a·c+b·c
(3)与实数相乘的结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
武 汉
5, 数量积的坐标表示式,设
科
技 学 院
a axi ay j azk, b bxi by j bzk
数
理 系
根据数量积的运算律,有
汉
科 技
即向量 a和b相互垂直.
学
院 (3)
数
理 系
a a a a cos0 a 2 a2 a a a 2
高
等 4, 数量积的运算律
数
学 (1)交换律 a·b=b·a
电 子
证明: 由投影定理a·b=|a|Prjab=|a||b|cos(b,a)=|b|Prjba=b·a
教 案
(2)分配律 (a+b)·C=a·C+b·C
学 院
(2) a×b垂直于a和b,其指向使三个向量a,b和a×b符合右手
数
理 系
法则.
高 等
根据这个定义,上面的力矩M是op与F的向量积,即M=op×F
数
a×b
学
电 子
b
b |b|sinθ θ
教
a
案
a
模| a×b|的几何意义为以a,b为相邻两边的平行四边形
的面积.
武
汉 科
3. 向量积的主要性质
技
学 院