樊昌信《通信原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解正交编码与伪随机序列【圣才出品】

第12章正交编码与伪随机序列

12.1复习笔记

一、正交编码

1．正交编码的基本概念

（1）正交编码的定义

正交编码是指码组两两正交的编码方式。

（2）正交编码的正交性（ρ＝0）

①互相关系数

a．码元为“＋1”，“－1”

设长为n 的编码中码元取值“＋1”和“－1”，则码组x，y 的互相关系数为

式中，x，y 表示两个码组，记为

b．码元为“0”,“1”设二进制数字码元取值为“0”和“1”，则互相关系数为

式中，A 为x 和y 中对应码元相同的个数；D 为x 和y 中对应码元不同的个数。若码组x 和y 正交，则必有ρ(x，y)＝0（11ρ-≤≤+）。

②自相关系数

一个长为n的码组x的自相关系数为

式中，x的下标按模n运算。

（3）超正交编码（ρ＜0）

①超正交编码的定义

超正交编码是指编码中任两码组间均超正交的编码方式。

②超正交编码的特性

任意两个码组间的相关系数ρ＜0。

（4）双正交编码（ρ＝0或－1）

①双正交编码的定义

双正交编码是指码组由正交编码和其反码构成的编码方式。

②双正交编码的特性

任意两码组间的相关系数ρ为0或－1。

2．阿达玛矩阵

（1）阿达玛矩阵的定义

阿达玛矩阵是指由元素＋1和－1构成，且其各行（或列）互相正交的方阵，记为H矩阵。

（2）阿达玛矩阵的表示

阶数为2的幂的高阶H矩阵表示为

代替；H2为最低阶

式中，N＝2m；为直积，指将中的每一个元素用矩阵H

H矩阵，下式中＋1和－1简写为“＋”和“－”，即

（3）阿达玛矩阵的正规形式

①正规阿达玛矩阵的定义

正规阿达玛矩阵是指元素对称且第一行和第一列的元素全为“＋”的H矩阵。

②正规阿达玛矩阵的特点

正规H矩阵交换任意两行（或列），或改变任一行（或列）中每个元素的符号：

a．不会影响矩阵的正交性质；

b．交换后的矩阵H不一定正规。

3．沃尔什函数

（1）沃尔什函数的定义

沃尔什函数用差分方程定义为

式中，p＝0或1，j＝0，1，2，…；指数中的[j/2]表示取j/2的整数部分。

（2）沃尔什函数的特点

①函数取值仅为“＋1”和“－1”；

②任意两个沃尔什函数相乘积分的结果等于0，即满足两两正交；

③具有数字信号的特性。

（3）沃尔什矩阵

①沃尔什矩阵的定义

沃尔什矩阵是沃尔什函数的离散抽样值表示的矩阵形式。

②沃尔什矩阵的表示

8个沃尔什函数的沃尔什矩阵为

③沃尔什矩阵的特点

按照每一行中“＋1”和“－1”的交变次数由少到多排列。

二、伪随机序列

1．基本概念

伪随机序列是具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又具有周期性的数字序列，又称伪随机信号和伪随机码。

2．m序列

（1）m序列的产生

①m序列的定义

m序列是指由带线性反馈的移存器产生的周期最长的序列，即最长线性反馈移位寄存器序列的简称。

②m序列的产生原理

图12-1线性反馈移位寄存器原理方框图

一个n级线性反馈移存器可能产生的最长周期等于（2n－1）。

③m序列的实现

a．基本关系式

第一，递推方程

第二，特征方程

第三，母函数

b．基本定理

定理一

式中，h(x)为次数低于f(x)的次数的多项式。

定理二：一个n级线性反馈移存器之相继状态具有周期性，周期为p≤2n－1。

定理三：若序列A＝{a k}具有最长周期（P＝2n－1），则其特征多项式f(x)应为既约多项式。

定理四：一个n级移存器的特征多项式f(x)若为既约的，则由其产生的序列A＝{a k}的周期等于使f(x)能整除的（x p＋1）中最小正整数p。

c．本原多项式

第一，定义

本原多项式是指满足既约条件；可整除（x m＋1），m＝2n－1；且除不尽（x q＋1），q ＜m的多项式。

第二，应用

当线性反馈移存器的特征多项式为本原多项式，反馈移存器才能够产生m序列，即可以由本原多项式构成m序列发生器，本原多项式列表见表12-1。。

表12-1本原多项式表