专题五：均值不等式与最值、放缩法

专题五：均值不等式与最值、放缩法

基础梳理

1．常用的基本不等式和重要的不等式：

（1

”号； （2）2

2

,,2a b R a b ab ∈+≥则；

（3 2两个正数的均值不等式：

ab b a ≥+2； 三个正数的均值不等式：3

3abc c b a ≥++； n 个正数的均值不等式：n

n n a a a n

a a a

ΛΛ2121≥+

++。

3．四种均值的关系：

（1）两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：

22112

2

2b a b a ab b

a +≤

+≤≤+ （2）三个正数a b c 、、的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：

31113a b c a b c

++≤≤++

（1）如果,,x y R xy P +

∈=（定值），由______________，当x y =时，x y +有____________； 如果,,,x y z R xyz P +

∈=（定值），由______________，当x y z ==时，x y z ++有__________； （2）如果,,x y R x y S +∈+=（定值），由______________，当x y =时，xy 有____________； 如果,,,x y z R x y z S +

∈++=（定值），由______________，当x y z ==时，xyz 有___________。

利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！

能力巩固

考点一：均值不等式与最值

1.已知,,x y z R +

∈，230x y z -+=，则2

y xz

的最小值______________。

2．设0,0,1x y x y >>+=，y x +

最大值是（ ）

A. 1

B.2

C.2

2

D.23

3.已知0,0a b >>，且2a b +=，若22

2S a b ab =++，则S 的最大值为_____________。

4.已知,x y 都在区间(2,2)-内，且1xy =-，则函数2

299

44y x u -+

-=的最小值是（ ） A ．5

8 B ．1124

C ．712

D ．512

5.若a 2b 2b 的等比中项，则

2||||

ab

a b +的最大值为（ ）

2 B. 1 C. 42 D.2

2

6．设M 是,23,30,ABC AB AC BAC ∆⋅=∠=︒u u u r u u u r

内一点且定义()(,,),f M m n p =其

中m n p 、、分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积，1()(,,),2f M x y =若14

x y

+则的最小值是_______________。

7．若a,b m 的最小值是______________。

变式：（1）若不等式()2

222

b a b a λ

++≥

对任意正实数a 、b 都成立，则λ的最大值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

（2）若对于任意的实数1a >且1b >，不等式22(2)a b t a b +≥+-恒成立，则实数t 的最大值是 ___________。

8. 设,x y 都是整数，且满足()y x xy +=+22，则2

2

y x +的最大可能值为（ ） A. 32 B. 25 C. 18 D. 16

9. 函数()x x x f -+=42的值域为（ ）

A.[]4,2

B.0,⎡⎣

C.4,⎡⎣

D.2,⎡⎣

练习：使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ）

A C

10．已知,,a b c R +∈且8(342)4a a b c bc ++=-，则32a b c ++的最小值为（ ）

A. B. C. D.

练习：若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为_______________。

考点二：放缩法与不等式 例1. （1）求证： 222211112123n +++⋅⋅⋅+<；变式：2222111151233

n +++⋅⋅⋅+<。

（2）222111711(2,)35(21)62(21)

n n N n n ++++⋅⋅⋅+>-≥∈-+；

（3）11)

>+⋅⋅⋅+>；

（4）2311115212121213

n ++++<----L ； （5）111

1223!

n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<！！（其中!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L ）

。

（6）求证：)

))))n N +>∈L 1111

(1+(1+(1+(1+1352n-1

；

（7）证明：当*

1,n n N >∈时，11111223421

n n n <+++++<-L 。

例2．设各项为正的数列{}n a 满足：111

(1)1,

1,n n

n n na n a a a a +++==+令 11,b a =21222311[n b n a a a =+

++ (21)

1](2).n n a -+≥ (Ⅰ)求;n a (Ⅱ)求证：12111

(1)(1)(1)4(1).n

n b b b +++<≥…